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秩 (群)

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数学群论中,一个Grank(G),是G的各个生成集合中最小的,也就是

G有限生成群,则G的秩是非负整数。

群的秩这个群论概念,类似于向量空间的维数。事实上,如果Pp-群,那么群P的秩,等于向量空间P/Φ(P)的维数,其中Φ(P)是P弗拉蒂尼子群

例子

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  • 对非平凡群G,rank(G)=1当且仅当G循环群
  • 自由阿贝尔群,有
  • G是有限非阿贝尔单群,则rank(G) = 2。这是从有限单群分类得出的结果。
  • G有限生成群,Φ(G) ≤ GG的弗拉蒂尼子群(Φ(G)一定是G的正规子群,故此商群G/Φ(G)可定义),则rank(G) = rank(G/Φ(G))。[1]
  • 单关系元群r不是自由群F(x1,..., xn)的本原元,即r不在F(x1,..., xn)的某个自由基之内,则rank(G) = n[2][3]

参考

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  1. ^ D. J. S. Robinson. A course in the theory of groups, 2nd edn, Graduate Texts in Mathematics 80 (Springer-Verlag, 1996). ISBN 0-387-94461-3
  2. ^ Wilhelm Magnus, Uber freie Faktorgruppen und freie Untergruppen Gegebener Gruppen, Monatshefte für Mathematik, vol. 47(1939), pp. 307–313.
  3. ^ Roger C. Lyndon and Paul E. Schupp. Combinatorial Group Theory. Springer-Verlag, New York, 2001. "Classics in Mathematics" series, reprint of the 1977 edition. ISBN 978-3-540-41158-1; Proposition 5.11, p. 107

参见

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