数学上,超极限是几何的构造法,对一个度量空间序列Xn指定一个度量空间为其极限。超极限推广了度量空间的格罗莫夫-豪斯多夫收敛。
在自然数集
上的超滤子ω,是一个有限可加的集合函数(可视为有限可加测度)
,从自然数集的幂集
映射到集合{0,1}上,使得
。一个在
上的超滤子ω 称为非主要的,若对所有有限子集
, 都有ω(F)=0。
设ω是
上的非主要超滤子。
若
是度量空间(X,d)上的点序列,x∈ X,称x是xn的ω -极限,记为
,若对所有
都有
![{\displaystyle \omega \{n:d(x_{n},x)\leq \epsilon \}=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90713d5ae2837181344fbb8dfc5a619c9a571cb3)
不难看出:
- 若一个点序列的ω-极限存在,则是唯一的。
- 若在标准意义下
,则
。(这性质成立,关键在超滤子是非主要的。)
若(X,d)紧致,则每个点序列都存在ω-极限。故此,实数的有界序列都存在ω-极限。
设ω是在
上的非主要超滤子。设 (Xn,dn) 是度量空间,有基点pn∈Xn。
考虑序列
,其中xn∈Xn。这个序列称为容许的,若实数序列(dn(xn,pn))n有界,也就是存在正实数C,使得
。记容许序列的集合为
。
由三角不等式可知对两个容许序列
及
,序列(dn(xn,yn))n有界,因此存在ω-极限
。在
中定义关系
如下:对
,每当
时便有
。易知
是等价关系。
序列(Xn,dn, pn)关于ω的超极限是一个度量空间
,定义如下。[1]
作为集合,有
。
对两个容许序列
及
的
等价类
,定义
不难看到
有良好定义,且为
上的度量。
记
。