超極限

數學上，超極限是幾何的構造法，對一個度量空間序列X_n指定一個度量空間為其極限。超極限推廣了度量空間的格羅莫夫－豪斯多夫收斂。

超濾子

在自然數集$\mathbb {N}$上的超濾子ω，是一個有限可加的集合函數（可視為有限可加測度）$\omega :2^{\mathbb {N} }\to \{0,1\}$，從自然數集的冪集$2^{\mathbb {N} }$映射到集合{0,1}上，使得$\omega (\mathbb {N} )=1$。一個在$\mathbb {N}$上的超濾子ω 稱為非主要的，若對所有有限子集$F\subseteq \mathbb {N}$， 都有ω(F)=0。

點序列關於一個超濾子的極限

設ω是$\mathbb {N}$上的非主要超濾子。 若$(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$是度量空間(X,d)上的點序列，x∈ X，稱x是x_n的ω -極限，記為$x=\lim _{\omega }x_{n}$，若對所有$\epsilon >0$都有

$\omega \{n:d(x_{n},x)\leq \epsilon \}=1.$

不難看出：

• 若一個點序列的ω-極限存在，則是唯一的。
• 若在標準意義下$x=\lim _{n\to \infty }x_{n}$，則$x=\lim _{\omega }x_{n}$。（這性質成立，關鍵在超濾子是非主要的。）

若(X,d)緊緻，則每個點序列都存在ω-極限。故此，實數的有界序列都存在ω-極限。

有基點度量空間的超極限

設ω是在$\mathbb {N}$上的非主要超濾子。設 (X_n,d_n) 是度量空間，有基點p_n∈X_n。

考慮序列$(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$，其中x_n∈X_n。這個序列稱為容許的，若實數序列(d_n(x_n,p_n))_n有界，也就是存在正實數C，使得$d_{n}(x_{n},p_{n})\leq C$。記容許序列的集合為${\mathcal {A}}$。

由三角不等式可知對兩個容許序列$\mathbf {x} =(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$及$\mathbf {y} =(y_{n})_{n\in \mathbb {N} }$，序列(d_n(x_n,y_n))_n有界，因此存在ω-極限${\hat {d}}_{\infty }(\mathbf {x} ,\mathbf {y} ):=\lim _{\omega }d_{n}(x_{n},y_{n})$。在${\mathcal {A}}$中定義關係$\sim$如下：對$\mathbf {x} ,\mathbf {y} \in {\mathcal {A}}$，每當${\hat {d}}_{\infty }(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=0$時便有 $\mathbf {x} \sim \mathbf {y}$。易知$\sim$ 是等價關係。

序列(X_n,d_n, p_n)關於ω的超極限是一個度量空間$(X_{\infty },d_{\infty })$，定義如下。

作為集合，有$X_{\infty }={\mathcal {A}}/{\sim }$。

對兩個容許序列$\mathbf {x} =(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$及$\mathbf {y} =(y_{n})_{n\in \mathbb {N} }$的$\sim$等價類$[\mathbf {x} ],[\mathbf {y} ]$，定義$d_{\infty }([\mathbf {x} ],[\mathbf {y} ]):={\hat {d}}_{\infty }(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=\lim _{\omega }d_{n}(x_{n},y_{n}).$

不難看到$d_{\infty }$有良好定義，且為 $X_{\infty }$上的度量。

記$(X_{\infty },d_{\infty })=\lim _{\omega }(X_{n},d_{n},p_{n})$。