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闭无界集

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数学中,尤其是数理逻辑集合论中,闭无界集(英语:closed and unbounded set, club set)是极限序数的一类子集,其在该极限序数的序拓扑中为,且相对于该极限序数为无界(见严格定义)。

严格定义

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严格而言,若为极限序数,则集合当且仅当对每个,若,则。因此,若中,某序列的极限小于,则该极限也在中。[1]:91

为极限序数,且,则称为在无界,意思是对任意,皆有使

若集合既闭又无界,则为闭无界集。有时也考虑闭的真类(由序数组成的真类必然在所有序数组成的类中无界)。

例如,所有可数极限序数构成的集合就是首个不可数序数的闭无界子集;然而,其并非任何更大的极限序数的闭无界子集,因为其既不闭,也非无界。所有极限序数构成的集合是的闭无界子集。从另一个角度,闭无界集即是正规函数英语normal function[1]:92(即递增且连续的函数)的值域。

更一般地可以定义何种闭无界集。非空,为基数,且中每个大小小于的子集都包含于的某个元素中,则称为闭无界集。(参见固定集英语stationary set

闭无界滤子

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为极限序数,且其共尾性不可数。对,设的一列闭无界子集,则也是闭无界集。原因是,闭集的任意交必为闭,故只需证明该交集无界。固定任意,又对每个,从每个中,选取元素(可以如此选取,因为每个都无界)。由于此为少于个序数,且每个都小于,其上确界也必小于,称其为。如此,得到可数序列,其极限同样会是序列的极限,而由于每个皆为闭,且不可数,后者的极限必在中,所以的极限是上述交集的元素,且大于,但为任意,故交集无界,即为所求证。[1]:92

由此可见,若正则基数英语regular cardinal,则闭无界集生成上的非主完备滤子。该滤子可以符号表示成中的闭无界集

为正则基数,则闭无界集关于对角交运算英语Diagonal intersection亦是封闭的。[1]:92

反之,若正则,而上关于对角交运算封闭的滤子,且所有形如(其中)的集合皆为的元素,则所有闭无界集均属于

参见

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参考资料

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  1. ^ 1.0 1.1 1.2 1.3 Jech, Thomas. Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded [集合论:第三千纪版,经修订及扩展]. Springer. 2003. ISBN 3-540-44085-2 (英语). 
  • Lévy, Azriel. Basic Set Theory [基础集合论]. Perspectives in Mathematical Logic Reprinted 2002, Dover (Springer-Verlag). 1979. ISBN 0-486-42079-5 (英语).