非孤立奇点

非孤立奇点是奇点的一种。P是奇点，若不存在任何一个包含P的开邻域（又称开集）U，使得U中不包含异于P的奇点（即P的任意有孔邻域中都包含奇点），则称P为非孤立奇点。

非孤立奇点分为两种：

• 聚点：孤立奇点的极限。如果这些孤立奇点是极点，那么尽管这些极点本身可以洛朗展开，但它们的极限，即该聚点，不能进行洛朗展开。
• 自然边界：任何非孤立点集（如：一条曲线），使得函数不能在它周围解析连续。（如果在黎曼球面上，则函数不能在它外面解析连续。）

例子

• 函数$\tan \left(1/z\right)$在$\mathbb {C} \backslash \{0\}$上是亚纯函数，只在$z_{n}=\left({\frac {\pi }{2}}+n\pi \right)^{-1}$处有单极点，其中$n\in \mathbb {N} _{0}$。但因为$\lim _{n\rightarrow \infty }z_{n}\rightarrow 0$，任意一个以原点为圆心的空心圆内，都有无限个单极点，所以$\tan \left(1/z\right)$在$0$附近没有洛朗展开。因此，$0$是函数$\tan \left(1/z\right)$的非孤立奇点。

• 函数$\csc \left(\pi /z\right)$在$0$处的奇点也是非孤立奇点，原因基本同上。

• 由麦克劳林级数定义的函数$\sum _{n=0}^{\infty }z^{2^{n}}$在以原点为圆心的开单位圆内（$|z|<1$）收敛。单位圆$|z|=1$是它的自然边界。

参见

• 孤立奇点