四階第一類切比雪夫低通濾波器的頻率響應圖
切比雪夫濾波器(又譯柴比雪夫濾波器,英語:chebyshev filter),也被稱為等漣波濾波器(equal ripple filter),是在通帶或阻帶上頻率響應幅度等波紋波動的濾波器。在通帶波動的為「I型切比雪夫濾波器」,在阻帶波動的為「II型切比雪夫濾波器」。切比雪夫濾波器在過渡帶比巴特沃斯濾波器的衰減快,但頻率響應的幅頻特性不如後者平坦。切比雪夫濾波器和理想濾波器的頻率響應曲線之間的誤差最小,但是在通頻帶內存在幅度波動。
這種濾波器來自切比雪夫多項式,因此得名,用以紀念俄羅斯數學家巴夫尼提·列波維奇·切比雪夫(Пафнутий Львович Чебышёв)。
I型切比雪夫濾波器[編輯]
I型切比雪夫濾波器最為常見。
n階第一類切比雪夫濾波器的幅度與頻率的關係可用下列公式表示[1]:
![{\displaystyle G_{n}(\omega )=\left|H_{n}(j\omega )\right|={\frac {1}{\sqrt {1+\epsilon ^{2}T_{n}^{2}\left({\frac {\omega }{\omega _{0}}}\right)}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f00e91b0d12fde74c92a122109892b559d24a28)
其中:
![{\displaystyle |\epsilon |<1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b190d88f6ea61b2a14b94d1f664b821735fbd0c5)
- 而
是濾波器在截止頻率
的放大率 (注意: 常用的以幅度下降3分貝的頻率點作為截止頻率的定義不適用於切比雪夫濾波器!)[來源請求]
是
階切比雪夫多項式[2]:
切比雪夫多項式[編輯]
切比雪夫多項式
![{\displaystyle T_{n}(\Omega )=\cos(n\cdot \arccos \ \Omega );0\leq \Omega \leq 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0cd65409309783a651ccc977357a7a7a86cb044)
![{\displaystyle T_{n}(\Omega )=\cosh(n\cdot \operatorname {(} arccosh\Omega );\Omega >1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19c19af51a3bfa0d3916051c02a678274237a44b)
其中
或:
![{\displaystyle T_{n}\left({\frac {\omega }{\omega _{0}}}\right)=a_{0}+a_{1}{\frac {\omega }{\omega _{0}}}+a_{2}\left({\frac {\omega }{\omega _{0}}}\right)^{2}+\,\cdots \,+a_{n}\left({\frac {\omega }{\omega _{0}}}\right)^{n};0\leq \omega \leq \omega _{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c84f66b4da007fbca892ee1641ce2b0224b09a55)
![{\displaystyle T_{n}\left({\frac {\omega }{\omega _{0}}}\right)={\frac {\left({\frac {\omega }{\omega _{0}}}{\sqrt {\left({\frac {\omega }{\omega _{0}}}\right)^{2}-1}}\right)^{n}+\left({\frac {\omega }{\omega _{0}}}{\sqrt {\left({\frac {\omega }{\omega _{0}}}\right)^{2}-1}}\right)^{-n}}{2}};\omega >\omega _{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a46c1213ad6ec2af3906bc3f518262f2be1830d)
n |
切比雪夫多項式
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0 |
1
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1 |
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切比雪夫濾波器的階數等於此濾波器的電子線路內獨立的電抗元件(或元件組)數。
切比雪夫濾波器的幅度波動 =
分貝
當
,切比雪夫濾波器的幅度波動= 3分貝。
如果需要幅度在在阻頻帶邊上衰減得更陡峭,可允許在複平面的
軸上存在零點。但結果會使通頻帶內振幅波動較大,而在阻頻帶內對信號抑制較弱。 這種濾波器叫橢圓函數濾波器或考爾濾波器。
II型切比雪夫濾波器[編輯]
也稱倒數切比雪夫濾波器,較不常用,因為頻率截止速度不如I型快,也需要用更多的電子元件。II型切比雪夫濾波器在通頻帶內沒有幅度波動,只在阻頻帶內有幅度波動。
II型切比雪夫濾波器的轉移函數為:
![{\displaystyle \left|H(\omega )\right|^{2}={\frac {1}{1+{\frac {1}{\epsilon ^{2}T_{n}^{2}\left(\omega _{0}/\omega \right)}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ed5e1f715db40d13c28e31bcee5fdcda0cf5f33)
參數 ε 與 阻頻帶的 衰減度 γ 有如下關係:
分貝。
5分貝衰減度相當於ε = 0.6801; 10分貝衰減度相當於 ε = 0.3333。
截止頻率 fC = ωC/2 π。
-3分貝頻率fH 和截止頻率 fC 有如下關係:
![{\displaystyle f_{H}=f_{C}\cosh \left({\frac {1}{n}}\cosh ^{-1}{\frac {1}{\epsilon }}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d34cf61bd2397a3611d9c038cab3067b54a2dd61)
使用範圍[編輯]
- 如果需要快速衰減而允許通頻帶存在少許幅度波動,可用第一類切比雪夫濾波器;如果需要快速衰減而不允許通頻帶存在幅度波動,可用第二類切比雪夫濾波器。
與其他濾波器的比較[編輯]
下圖比較四種同階低通濾波器:(左上)巴特沃斯濾波器、(右上)I型切比雪夫濾波器、(左下)II型切比雪夫濾波器(右下)橢圓函數濾波器。
兩類切比雪夫濾波器比巴特沃斯濾波器陡峭; 但不如橢圓函數濾波器,然而後者幅度波動較大。
參考文獻[編輯]
- ^ Rolf Schaumann et al, p295
- ^ Rolf Schaumann p295-298
- Rolf Schaumann,Haiqiao Xiao, Mac E.van Valkenburg, Analog Filter Design, 2nd Indian Edition, Oxford University Press, 2013
- Adel S. Sedra, Peter O. Brackett, Filter Theory and Design:Active and Passive, Matri Publishers Inc,1978