施圖姆定理是一個用於決定多項式的不同實根的個數的方法。這個方法是以雅克·夏爾·弗朗索瓦·施圖姆命名的。
施圖姆定理與代數基本定理的一個區別是,代數基本定理是關於多項式的實根或復根的個數,把重根也計算在內,而施圖姆定理則只涉及實根,且不把重根計算在內。
我們首先從以下不含重根的多項式構造一個施圖姆序列:
![{\displaystyle X=a_{n}x^{n}+\ldots +a_{1}x+a_{0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a55a5614a8cbeba173c34f4dc7f20540f89eb413)
標準施圖姆序列是把多項式長除法應用於
和它的導數
時,所得到的中間結果的序列。
標準施圖姆序列由以下公式計算:
![{\displaystyle {\begin{matrix}X_{2}&=&-{\rm {rem}}(X,X_{1})\\X_{3}&=&-{\rm {rem}}(X_{1},X_{2})\\&\vdots &\\0&=&-{\rm {rem}}(X_{r-1},X_{r}),\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc8c09aef0c061ec1f48bf570fc37849d137bdaf)
也就是說,序列中每一項都是前兩項相除所得的餘數,並將其變號。由於當
時,
,因此這個序列最終要停止。最後一個多項式,
,就是
和它的導數的最大公因式。由於
沒有重根,因此
是一個常數。於是,標準施圖姆序列為:
![{\displaystyle X,X_{1},X_{2},\ldots ,X_{r}.\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8027347975a00628120d3c9db68064415fece257)
設
為以下序列中符號變化的次數(零不計算在內):
![{\displaystyle X(\xi ),X_{1}(\xi ),X_{2}(\xi ),\ldots ,X_{r}(\xi ),\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9bb59c0e440d7bf3cbb9b4dc045c4a6efd552eb2)
其中
是不含重根的多項式。於是,施圖姆定理說明,對於兩個實數
,開區間
中的不同根的個數為
。
通過恰當選擇
,這個定理可以用來計算多項式的實根的總個數。例如,柯西發現的一個定理說明,係數為
的多項式的所有實根都在區間
內,其中:
![{\displaystyle M=1+{\frac {\max _{i=0}^{n-1}|a_{i}|}{|a_{n}|}}.\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ceee71a32c9384bbedf6d9d65e32126d5ab7b26)
除此以外,我們還可以利用下列事實:對於很大的正數
,以下多項式的符號
![{\displaystyle P(x)=a_{n}x^{n}+\cdots \,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/585085a6798684b4bf19769452338f51809bd6ab)
是
,而
則是
。
用這種方法,僅僅計算施圖姆序列中首項係數的符號變化,就可以得出多項式的不同實根的個數。
通過施圖姆定理的幫助,我們還可以決定某個給定根(例如
)是幾重根。確實,假設我們知道
在
內,且
。那麼,
是
重根正好當
是
的
重根時(這是因為它是
和它的導數的最大公因式)。
上的施圖姆序列,是實係數多項式
的一個有限序列
,使得:
在
上沒有根
![{\displaystyle X_{0}(a)X_{0}(b)\neq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5681d1cdaed93587ebc4a26c5b1a44d376253b30)
- 如果對於
,那麼![{\displaystyle X_{i-1}(\xi )X_{i+1}(\xi )<0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3cab9019ad0356b99aeb77b831201ae877708a8f)
- 若對於
,則存在
,使得
時,
而
時 ![{\displaystyle X_{0}(c)X_{1}(c)>0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b346b40fe27fb7816bfe81208653cf40f9916f28)
我們可以驗證每一個標準施圖姆序列確實是如上定義的施圖姆序列。
- D.G. Hook and P.R. McAree, "Using Sturm Sequences To Bracket Real Roots of Polynomial Equations" in Graphic Gems I (A. Glassner ed.), Academic Press, p. 416-422, 1990.