歐拉定理 (幾何)

提示：此條目的主題不是歐拉公式或歐拉定理 (數論)。

$d=|IO|={\sqrt {R(R-2r)}}$

在平面幾何學中的歐拉定理是說，三角形的外心與內心之間的距離$d$ 可表示為

$d^{2}=R(R-2r)\,$

其中$R$為外接圓半徑，$r$為內切圓半徑。

從歐拉定理可推出歐拉不等式 (當三角形等邊時，等號成立)：

$R$ ≥ $2r.$

證明

(1)當$d=0$時，表示外心$O$與內心$I$重合，此時易證三角形$\displaystyle ABC$為正三角形，且$R=2r$，因此$\displaystyle d^{2}=R(R-2r)$。

(2)當$d$大於$0$時，請參考右下圖：

(a)設三角形$ABC$的外心為$O$，內心為$I$，延長$AI$交外接圓於$L$，則$L$為弧$BC$的中點。連$LO$延長交外接圓於$M$，過$I$作$ID$垂直於$AB$，$D$為垂足，則$ID=r$。易證三角形$\displaystyle ADI$與三角形$\displaystyle MBL$相似，故${\frac {ID}{BL}}={\frac {AI}{ML}}$，即$ID\times ML=AI\times BL$。所以$2Rr=AI\times BL$。

(b)連接$\displaystyle BI$，因

$\angle BIL=\angle BAI+\angle ABI={\frac {\angle BAC}{2}}+{\frac {\angle ABC}{2}}$，

$\angle IBL=\angle IBC+\angle CBL={\frac {\angle ABC}{2}}+{\frac {\angle BAC}{2}}$，

所以$\angle BIL=\angle IBL$，有$\displaystyle BL=IL$，由(a)的結論知$AI\cdot IL=2Rr$。

(c)設$\displaystyle OI$延長線交外接圓於$\displaystyle P,\;\displaystyle Q$ 兩點，則$PI\cdot QI=AI\cdot IL=2Rr$，所以$\displaystyle (R+d)(R-d)=2Rr$，即$\displaystyle d^{2}=R(R-2r)$。