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鐵木辛柯梁理論

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鐵木辛柯梁是20世紀早期由美籍俄裔科學家與工程師斯蒂芬·鐵木辛柯提出並發展的力學模型。[1][2]模型考慮了剪應力轉動慣性,使其適於描述短梁、層合梁以及波長接近厚度的高頻激勵時梁的表現。結果方程有4階,但不同於一般的梁理論,如歐拉-伯努利梁理論,還有一個2階空間導數呈現。實際上,考慮了附加的變形機理有效地降低了梁的剛度,結果在一穩態載荷下撓度更大,在一組給定的邊界條件時預估固有頻率更低。後者在高頻即波長更短時效果更明顯,反向剪力距離縮短時也有同樣效果。

鐵木辛柯梁(藍)的變形與歐拉-伯努利梁(紅)的對比

如果梁材料的剪切模量接近無窮,即此時梁為剪切剛體,並且忽略轉動慣性,則鐵木辛柯梁理論趨同於一般梁理論。

控制方程

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准靜態鐵木辛柯梁

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鐵木辛柯梁的變形。不等於

靜力學中鐵木辛柯梁理論沒有軸向影響,假定梁的位移服從於

式中是梁上一點的坐標,是位移矢量的三維坐標分量,是對於梁的中性面的法向轉角,是中性面的在方向的位移。

控制方程是以下常微分方程的解耦系統:

靜態條件下的鐵木辛柯梁理論,若在以下條件成立時,等同於歐拉-伯努利梁理論

此時,可忽略上面控制方程的最後一項,得到有效的近似,式中是梁的長度。

對於等截面均勻梁,合併以上兩個方程,

動態鐵木辛柯梁

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在鐵木辛柯梁理論中若不考慮軸向影響,則給出梁的位移

式中是梁內一點的坐標,是位移矢量的三維坐標分量,是對於梁的中性面的法向轉角,是中性面方向的位移.

從以上假設,鐵木辛柯梁,考慮到振動,要用線性耦合偏微分方程描述:[3]

其中因變量是梁的平移位移和轉角位移。注意不同於歐拉-伯努利梁理論,轉角位移是另一個變量而非撓度斜率的近似。此外,

  • 是梁材料的密度(而非線密度);
  • 是截面面積;
  • 彈性模量
  • 剪切模量
  • 軸慣性矩
  • ,稱作鐵木辛柯剪切係數,由形狀確定,通常矩形截面
  • 是載荷分布(單位長度上的力);

這些參數不一定是常數。

對於各向同性的線彈性均勻等截面梁,以上兩個方程可合併成[4][5]

軸向影響

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如果梁的位移由下式給出

其中方向的附加位移,則鐵木辛柯梁的控制方程成為

其中是外加軸向力。任意外部軸向力的平衡依靠應力

式中是軸向應力,梁的厚度設為

包含軸向力的梁方程合併為

阻尼

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如果,除軸向力外,我們考慮與速度成正比的阻尼力,形如

鐵木辛柯梁的耦合控制方程成為

合併方程為

切變係數

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確定切變係數不是直接的,一般它必須滿足:

切變係數由泊松比確定。更嚴格的表達方法由多位科學家完成,包括斯蒂芬·鐵木辛柯、雷蒙德·明德林(Raymond D. Mindlin)、考珀(G. R. Cowper)和約翰·哈欽森(John W. Hutchinson)等。工程實踐中,斯蒂芬·鐵木辛柯的表達一般狀況下足夠好。[6]

對於固態矩形截面:

對於固態圓形截面:

參考文獻

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  1. ^ Timoshenko, S. P., 1921, On the correction factor for shear of the differential equation for transverse vibrations of bars of uniform cross-section, Philosophical Magazine, p. 744.
  2. ^ Timoshenko, S. P., 1922, On the transverse vibrations of bars of uniform cross-section, Philosophical Magazine, p. 125.
  3. ^ Timoshenko's Beam Equations. [2013-03-22]. (原始內容存檔於2007-10-15). 
  4. ^ Thomson, W. T., 1981, Theory of Vibration with Applications
  5. ^ Rosinger, H. E. and Ritchie, I. G., 1977, On Timoshenko's correction for shear in vibrating isotropic beams, J. Phys. D: Appl. Phys., vol. 10, pp. 1461-1466.
  6. ^ Stephen Timoshenko, James M. Gere. Mechanics of Materials. Van Nostrand Reinhold Co., 1972. Pages 207.
  • Stephen P. Timoshenko. Schwingungsprobleme der technik. Verlag von Julius Springer. 1932.