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非均勻採樣

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非均勻取樣(英語:Nonuniform sampling)是取樣定理下的產物,藉由拉格朗日插值法及均勻取樣理論的關係,來達成滿足取樣定理的概括化型態。取樣定理限制了在對連續訊號取樣時的條件,如奈奎斯特準則,以避免取樣後的重構時產生訊號缺陷。而非均勻取樣則是在不同時間有不同的取樣間隔,但平均下來,整段取樣滿足取樣定理的限制,根據取樣定理的回推,這樣的作法在有限頻寬訊號重構時不會造成缺陷。因此,雖然均勻取樣在訊號重構時較簡單,完整的重構訊號卻不見得一定要用均勻取樣來的訊號才能達到。

1967年藍道[1]提出的對於非均勻取樣及非基頻取樣的泛用理論提到,平均後的取樣率,無論是否均勻取樣,若是知道使用的頻譜為前題下,必須要是訊號占用頻寬的兩倍大。1990年代末期,這個理論推廣到占用頻寬的數量已知,而實際上頻譜位置未知的情形[2]。2000年代,非均勻取樣與壓縮取樣逐漸發展成一套完整的理論,並實際實作在訊號處理上[3]。如果頻譜位置是未知的,取樣率必須至少兩倍大於奈奎斯特準則,也就是說未知頻譜位置的代價是至少多兩倍的頻寬。

取樣混疊

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奈奎斯特準則用取樣率限制了最大取樣頻率,若是超出這個頻率就會產生混疊。高於取樣頻率的成分將被重構成低於取樣頻率的訊號,因而導致重構失真,這樣的失真就稱為混疊,因為這兩個訊號有同樣的取樣值,重構時並不能主動判斷是哪一個成分訊號造成的。同樣的狀況也出現在數值分析裡的頻譜法。一般有兩個方式可以避免混疊的發生,一是提高取樣頻率,使之達到最凹訊號頻率的兩倍以上,意即使之符合奈奎斯特準則。二是引入低通濾波器,通常稱為抗混疊濾波器,用以濾除高於最大頻率之訊號。

均勻取樣會造成訊號混疊

然而,若是將每個取樣的時間點前後挪移一點單位,在重構訊號時,由於只有被取樣頻率的正弦波可以經過取樣點,原本會被誤重構二個頻率均不會經過取樣點。暫且不論重構訊號的方式,此法的確可以避免混疊,是為非均勻取樣。研究亦有指出,在正確進行非均勻取樣的前提下,每一個頻率都有對應的取樣數值組合,在上述的例子中也顯示其抗混疊的效用,意即成功重構是可能的。

調整取樣時間點,便可有效避免訊號混疊

最常使用的非均勻採樣抗混疊訊號處理法的實作,是引入一串高精度且已知的時間長度,作為取樣的間隔。雖然非均勻取樣可以解決混疊問題,然實際使用上,包含取樣率的上限計算等,與一般均勻取樣不全然相同。平均取樣率是藉由總取樣點除以總取樣時間得到,最小取樣數則在均勻與否的取樣皆相同,均勻取樣則常常有超過數量的取樣點,目的同樣是為了防止混疊。

理論

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拉格朗日插值法

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當有n+1個時間點對應的值是知道的時候,可以建立一個n次多項式來重構此函數。假設這n+1個點為,且其對應的值為

以上對應存在一個為一的多項式使得:

而這個多項式可以用以下插值多項式加以簡化

以上式子可表示如下

便可以將前述多項式寫成

為了使式子形式更簡潔明瞭,引入以下函數

以下便為拉格朗日插值多項式:

則此多項是又可以寫作

惠特克–夏農–科特爾尼科夫定理(Whittaker–Shannon–Kotelnikov) (WSK)

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惠特克將以上插值多項式的定義拓展到整函數上,他給出了以下插值形式

當點在時,其函數值與前述相同。

延續前一節的簡化,以上整函數形式的插值函數亦可以簡化為

當 a=0且W=1時,以上函數與現時定義之WSK理論近幾一致:

若一個函數可以以下形式表達

則此函數可以藉由以下方式重構


非均勻採樣

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若存在一序列滿足以下條件

是Bernstein space,均勻收斂緊緻集。

以上稱為培力-威納-萊文森定理,為將WSK定理從均勻取樣時間拓展至非均勻取樣時間的定裡。[4]

參考文獻

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  1. ^ Landau, H. J. Necessary density conditions for sampling and interpolation of certain entire functions. Acta Mathematica. 1967, 117 (0): 37–52. ISSN 0001-5962. doi:10.1007/bf02395039. 
  2. ^ Bresler, Y.; Ping Feng. Spectrum-blind minimum-rate sampling and reconstruction of 2-D multiband signals. Proceedings of 3rd IEEE International Conference on Image Processing (IEEE). ISBN 0780332598. doi:10.1109/icip.1996.559595. 
  3. ^ Mishali, M.; Eldar, Y.C. Blind Multiband Signal Reconstruction: Compressed Sensing for Analog Signals. IEEE Transactions on Signal Processing. 2009-03, 57 (3): 993–1009. ISSN 1053-587X. doi:10.1109/tsp.2009.2012791. 
  4. ^ Nonuniform sampling : theory and practice. 1 (Book, 2013) [WorldCat.org]. WorldCat.org. 1999-02-22 [2019-07-19].