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非均匀采样

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非均匀取样(英语:Nonuniform sampling)是取样定理下的产物,借由拉格朗日插值法及均匀取样理论的关系,来达成满足取样定理的概括化型态。取样定理限制了在对连续讯号取样时的条件,如奈奎斯特准则,以避免取样后的重构时产生讯号缺陷。而非均匀取样则是在不同时间有不同的取样间隔,但平均下来,整段取样满足取样定理的限制,根据取样定理的回推,这样的作法在有限带宽讯号重构时不会造成缺陷。因此,虽然均匀取样在讯号重构时较简单,完整的重构讯号却不见得一定要用均匀取样来的讯号才能达到。

1967年蓝道[1]提出的对于非均匀取样及非基频取样的泛用理论提到,平均后的取样率,无论是否均匀取样,若是知道使用的频谱为前题下,必须要是讯号占用带宽的两倍大。1990年代末期,这个理论推广到占用带宽的数量已知,而实际上频谱位置未知的情形[2]。2000年代,非均匀取样与压缩取样逐渐发展成一套完整的理论,并实际实作在讯号处理上[3]。如果频谱位置是未知的,取样率必须至少两倍大于奈奎斯特准则,也就是说未知频谱位置的代价是至少多两倍的带宽。

取样混叠

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奈奎斯特准则用取样率限制了最大取样频率,若是超出这个频率就会产生混叠。高于取样频率的成分将被重构成低于取样频率的讯号,因而导致重构失真,这样的失真就称为混叠,因为这两个讯号有同样的取样值,重构时并不能主动判断是哪一个成分讯号造成的。同样的状况也出现在数值分析里的频谱法。一般有两个方式可以避免混叠的发生,一是提高取样频率,使之达到最凹讯号频率的两倍以上,意即使之符合奈奎斯特准则。二是引入低通滤波器,通常称为抗混叠滤波器,用以滤除高于最大频率之讯号。

均匀取样会造成讯号混叠

然而,若是将每个取样的时间点前后挪移一点单位,在重构讯号时,由于只有被取样频率的正弦波可以经过取样点,原本会被误重构二个频率均不会经过取样点。暂且不论重构讯号的方式,此法的确可以避免混叠,是为非均匀取样。研究亦有指出,在正确进行非均匀取样的前提下,每一个频率都有对应的取样数值组合,在上述的例子中也显示其抗混叠的效用,意即成功重构是可能的。

调整取样时间点,便可有效避免讯号混叠

最常使用的非均匀采样抗混叠讯号处理法的实作,是引入一串高精度且已知的时间长度,作为取样的间隔。虽然非均匀取样可以解决混叠问题,然实际使用上,包含取样率的上限计算等,与一般均匀取样不全然相同。平均取样率是借由总取样点除以总取样时间得到,最小取样数则在均匀与否的取样皆相同,均匀取样则常常有超过数量的取样点,目的同样是为了防止混叠。

理论

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拉格朗日插值法

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当有n+1个时间点对应的值是知道的时候,可以建立一个n次多项式来重构此函数。假设这n+1个点为,且其对应的值为

以上对应存在一个为一的多项式使得:

而这个多项式可以用以下插值多项式加以简化

以上式子可表示如下

便可以将前述多项式写成

为了使式子形式更简洁明了,引入以下函数

以下便为拉格朗日插值多项式:

则此多项是又可以写作

惠特克–夏农–科特尔尼科夫定理(Whittaker–Shannon–Kotelnikov) (WSK)

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惠特克将以上插值多项式的定义拓展到整函数上,他给出了以下插值形式

当点在时,其函数值与前述相同。

延续前一节的简化,以上整函数形式的插值函数亦可以简化为

当 a=0且W=1时,以上函数与现时定义之WSK理论近几一致:

若一个函数可以以下形式表达

则此函数可以借由以下方式重构


非均匀采样

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若存在一序列满足以下条件

是Bernstein space,均匀收敛紧致集。

以上称为培力-威纳-莱文森定理,为将WSK定理从均匀取样时间拓展至非均匀取样时间的定里。[4]

参考文献

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  1. ^ Landau, H. J. Necessary density conditions for sampling and interpolation of certain entire functions. Acta Mathematica. 1967, 117 (0): 37–52. ISSN 0001-5962. doi:10.1007/bf02395039. 
  2. ^ Bresler, Y.; Ping Feng. Spectrum-blind minimum-rate sampling and reconstruction of 2-D multiband signals. Proceedings of 3rd IEEE International Conference on Image Processing (IEEE). ISBN 0780332598. doi:10.1109/icip.1996.559595. 
  3. ^ Mishali, M.; Eldar, Y.C. Blind Multiband Signal Reconstruction: Compressed Sensing for Analog Signals. IEEE Transactions on Signal Processing. 2009-03, 57 (3): 993–1009. ISSN 1053-587X. doi:10.1109/tsp.2009.2012791. 
  4. ^ Nonuniform sampling : theory and practice. 1 (Book, 2013) [WorldCat.org]. WorldCat.org. 1999-02-22 [2019-07-19].