Malnormal子群

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群論中，群$G$的子群$H$稱為異正規子群，如果對所有$x\in G\setminus H$，$H$和$H^{x}=xHx^{-1}$交於單位元。

性質

• 異正規子群族的交是異正規子群（ｍａｌｎｏｒｍａｌ　ｓｕｂｇｒｏｕｐ）。
• 異正規子群性質是傳遞的，群$G$的m異正規子群的異正規子群也是$G$的異正規子群。
• 平凡子群和整個群$G$都是異正規子群。一個正規子群如果也是異正規，必定是此兩者之一。

如果$G$除了自身和平凡子群之外，還有其他異正規子群，則$G$稱為Frobenius群。Frobenius的一條定理指，Frobenius群$G$若是有限群，$H$是除了$G$和平凡子群之外的異正規子群。設

$N=\left(G\setminus \bigcup _{g\in G}H^{g}\right)\cup \{e\}$

則$N$是$G$的正規子群，且$G$是$N$和$H$的半直積。這結果對無限群不一定成立。

參考

• Pierre de la Harpe, Claude Weber. Malnormal subgroups and Frobenius groups: basics and examples （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）. Appendix by Denis Osin.