Q阿佩爾函數

q阿佩爾函數（q-Appell function）又名q阿佩爾多項式（q-Appell polynomials）是數學家Jackson創立的阿佩爾函數的q模擬

《美國國家標準局數學函數手冊》中給出的定義如下

q-阿佩爾函數是二變數超幾何函數，共四個：

Q Appell function $\Phi ^{(1)}$

q-Appell-4 function1

$\Phi ^{(1)}(a;b,b';c;x,y)=\sum _{m,n>0}$${\frac {(a;q)_{m+n}*(b;q)_{m}*(b';q)_{n}*x^{m}*y^{n}}{(q;q)_{m}*(q;q)_{n}*(c;q)_{m+n}}}$

$\Phi ^{(2)}(a;b,b';c;x,y)=\sum _{m,n>0}$${\frac {(a;q)_{m+n}*(b;q)_{m}*(b';q)_{n}*x^{m}*y^{n}}{(q;q)_{m}*(q;q)_{n}*(c;q)_{m+n}}}$

$\Phi ^{(3)}(a,a';b,b';c;x,y)=\sum _{m,n>0}$${\frac {(a,b;q)_{m}*(a',b';q)_{n}*x^{m}*y^{n}}{(q;q)_{m}*(q;q)_{n}*(c;q)_{m+n}}}$

$\Phi ^{(4)}(a;b;c,c';x,y)=\sum _{m,n>0}$${\frac {(a,b;q)_{m+n}*x^{m}*y^{n}}{(q,c;q)_{m}*(q,c';q)_{n}}}$

其中

$(a;q)_{n}=\prod _{k=0}^{n-1}(1-aq^{k})=(1-a)(1-aq)(1-aq^{2})\cdots (1-aq^{n-1})$

為Q階乘冪

$(a,b;q)_{n}=(a;q)_{n}*(b;q)_{n}$

關係式

$\Phi ^{(2)}(a;b,b';c,c';x,y)={\frac {(b,ax;q)_{\infty }}{(c,x,y;q)_{\infty }}}\sum (\sum {\frac {(a,b';q)_{n}(x;q)_{r}(c/a;q)_{r}}{(q,c';q)_{n}(q)_{r}(ax;q)_{n+r}}},m=1..\infty ),r=1..\infty )$ .

參考文獻

• H. M. Srivastava,Some Characterizations of Appell and Q-Appell Polynomials,University of Victoria, Department of Mathematics, 1981
• Thomas Ernst,Convergence Aspects for Q-appell Functions,Uppsala universitet, 2010
• Thomas Ernst,A Comprehensive Treatment of Q-Calculus,p381,p432,Birkhaus 2012
• Basic Hypergeometric Series（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
• On Models of Uq(sl(2)) and q-Appell Functions Using a q-Integral Transformation