不動點組合子

不動點組合子（英語：Fixed-point combinator，或不動點算子）是計算其他函數的一個不動點的高階函數。

函數 f 的不動點是將函數應用在輸入值 x 時，會傳回與輸入值相同的值，使得 f(x) = x。例如，0 和 1 是函數 f(x) = x² 的不動點，因為 0² = 0 而 1² = 1。鑑於一階函數（在簡單值比如整數上的函數）的不動點是個一階值，高階函數 f 的不動點是另一個函數 g 使得 f(g) = g。那麼，不動點算子 fix 的定義是

x=f\ x

使得對於任何函數 f

{\textsf {fix}}\ f=f\ ({\textsf {fix}}\ f)

不動點組合子它們可以用非遞歸的 lambda抽象來定義，在 lambda演算中的函數都是匿名的。然而在命令式編程語言中的遞歸，或許限制只能以呼叫函數名稱作為參數來實作。在函數式編程語言中的不動點，以 lambda抽象來定義的Y組合子為：

{\textsf {Y}}=\lambda f.(\lambda x.f\ (x\ x))\ (\lambda x.f\ (x\ x))

則允許匿名函數足夠逹成遞歸的作用，即遞歸函數。應用於帶有一個變量的函數，Y組合子通常不會終止。將 Y組合子應用於二或更多個變量的函數，會獲得更有趣的結果。第二個變量可當作計數器或索引。由此產生的函數行為，表現出如命令式語言中一個while或for迴圈。

這個組合子也是 Curry悖論的核心，演示了無型別的 lambda演算是一個不穩固的推論系統，因由 Y組合子允許一個匿名表達式來表示零或者甚至許多值，這在數理邏輯上是不一致的。

Y組合子

在無類型lambda演算中眾所周知的（可能是最簡單的）不動點組合子叫做Y組合子。它是Haskell B. Curry發現的，定義為

Y := λf.(λx.(f (x x)) λx.(f (x x))) 用一個例子函數g來展開它，我們可以看到上面這個函數是怎麼成為一個不動點組合子的：

(Y g)

= (λf.(λx.(f (x x)) λx.(f (x x))) g)

= (λx.(g (x x)) λx.(g (x x)))（λf的β-歸約 - 應用主函數於g）

= (λy.(g (y y)) λx.(g (x x)))（α-轉換 - 重命名約束變量）

= (g (λx.(g (x x)) λx.(g (x x))))（λy的β-歸約 - 應用左側函數於右側函數）

= (g (Y g))（Y的定義）

注意Y組合子意圖用於傳名求值策略，因為 (Y g)在傳值設置下會發散（對於任何g）。

不動點組合子的存在性

在數學的特定形式化中，比如無類型lambda演算和組合演算中，所有表達式都被當作高階函數。在這些形式化中，不動點組合子的存在性意味着「所有函數都至少有一個不動點」，函數可以有多於一個不同的不動點。

在其他系統中，比如簡單類型lambda演算，不能寫出有良好類型（well-typed）的不動點組合子。在這些系統中對遞歸的任何支持都必須明確的增加到語言中。帶有擴展的遞歸數據類型的簡單類型lambda演算，可以寫出不動點算子，「有用的」不動點算子（它的應用總是會返回）的類型將是有限制的。

例如，在Standard ML中Y組合子的傳值調用變體有類型∀a.∀b.((a→b)→(a→b))→(a→b)，而傳名調用變體有類型∀a.(a→a)→a。傳名調用（正則序）變體在應用於傳值調用的語言的時候將永遠循環下去 -- 所有應用Y(f)展開為f(Y(f))。按傳值調用語言的要求，到f的參數將接着展開，生成f(f(Y(f)))。這個過程永遠重複下去（直到系統耗盡內存），而不會實際上求值f的主體。

例子

考慮階乘函數（使用邱奇數）。平常的遞歸數學等式

fact(n) = if n=0 then 1 else n * fact(n-1)

可以用lambda演算把這個遞歸的一個「單一步驟」表達為

F = λf. λx. (ISZERO x) 1 (MULT x (f (PRED x))),

這裏的"f"是給階乘函數的佔位參數，用於傳遞給自身。函數F進行求值遞歸公式中的一個單一步驟。應用fix算子得到

fix(F)(n) = F(fix(F))(n)

fix(F)(n) = λx. (ISZERO x) 1 (MULT x (fix(F) (PRED x)))(n)

fix(F)(n) = (ISZERO n) 1 (MULT n (fix(F) (PRED n)))我們可以簡寫fix(F)為fact，得到

fact(n) = (ISZERO n) 1 (MULT n (fact(PRED n)))所以我們見到了不動點算子確實把我們的非遞歸的「階乘步驟」函數轉換成滿足預期等式的遞歸函數。

其他不動點組合子

Y組合子的可以在傳值調用的應用序求值中使用的變體，由普通Y組合子的部分的η-展開給出：

Z = λf.(λx. f (λy. x x y)) (λx. f (λy. x x y))

Y組合子用SKI-演算表達為

Y = S (K (S I I)) (S (S (K S) K) (K (S I I)))在SK-演算中最簡單的組合子由John Tromp發現，它是

Y' = S S K (S (K (S S (S (S S K)))) K)它對應於lambda表達式

Y' = (λx.λy. x y x) (λy.λx. y (x y x))

另一個常見不動點組合子是圖靈不動點組合子（阿蘭·圖靈發現的）:

Θ = (λx.λy.(y (x x y))) (λx.λy.(y (x x y)))它也有一個簡單的傳值調用形式：

Θ_v = (λx.λy.(y (λz. x x y z))) (λx.λy.(y (λz. x x y z)))

參見

外部連結