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不動點組合子

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不動點組合子(英語:Fixed-point combinator,或不動點算子)是計算其他函數的一個不動點高階函數

函數 f 的不動點是將函數應用在輸入值 x 時,會傳回與輸入值相同的值,使得 f(x) = x。例如,0 和 1 是函數 f(x) = x2 的不動點,因為 02 = 0 而 12 = 1。鑑於一階函數(在簡單值比如整數上的函數)的不動點是個一階值,高階函數 f 的不動點是另一個函數 g 使得 f(g) = g。那麼,不動點算子 fix 的定義是

使得對於任何函數 f

不動點組合子它們可以用非遞歸的 lambda抽象來定義,在 lambda演算中的函數都是匿名的。然而在命令式編程語言中的遞歸,或許限制只能以呼叫函數名稱作為參數來實作。在函數式編程語言中的不動點,以 lambda抽象來定義的Y組合子為:

則允許匿名函數足夠逹成遞歸的作用,即遞歸函數。應用於帶有一個變量的函數,Y組合子通常不會終止。將 Y組合子應用於二或更多個變量的函數,會獲得更有趣的結果。第二個變量可當作計數器或索引。由此產生的函數行為,表現出如命令式語言中一個whilefor迴圈。

這個組合子也是 Curry悖論的核心,演示了無型別的 lambda演算是一個不穩固的推論系統,因由 Y組合子允許一個匿名表達式來表示零或者甚至許多值,這在數理邏輯上是不一致的。

Y組合子

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無類型lambda演算中眾所周知的(可能是最簡單的)不動點組合子叫做Y組合子。它是Haskell B. Curry發現的,定義為

Y := λf.(λx.(f (x x)) λx.(f (x x))) 用一個例子函數g來展開它,我們可以看到上面這個函數是怎麼成為一個不動點組合子的:
(Y g)
= (λf.(λx.(f (x x)) λx.(f (x x))) g)
= (λx.(g (x x)) λx.(g (x x)))(λf的β-歸約 - 應用主函數於g
= (λy.(g (y y)) λx.(g (x x)))(α-轉換 - 重命名約束變量)
= (g (λx.(g (x x)) λx.(g (x x))))(λy的β-歸約 - 應用左側函數於右側函數)
= (g (Y g))(Y的定義)

注意Y組合子意圖用於傳名求值策略,因為 (Y g)在傳值設置下會發散(對於任何g)。

不動點組合子的存在性

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在數學的特定形式化中,比如無類型lambda演算組合演算中,所有表達式都被當作高階函數。在這些形式化中,不動點組合子的存在性意味着「所有函數都至少有一個不動點」,函數可以有多於一個不同的不動點。

在其他系統中,比如簡單類型lambda演算,不能寫出有良好類型(well-typed)的不動點組合子。在這些系統中對遞歸的任何支持都必須明確的增加到語言中。帶有擴展的遞歸數據類型的簡單類型lambda演算,可以寫出不動點算子,「有用的」不動點算子(它的應用總是會返回)的類型將是有限制的。

例如,在Standard MLY組合子的傳值調用變體有類型∀a.∀b.((a→b)→(a→b))→(a→b),而傳名調用變體有類型∀a.(a→a)→a。傳名調用(正則序)變體在應用於傳值調用的語言的時候將永遠循環下去 -- 所有應用Y(f)展開為f(Y(f))。按傳值調用語言的要求,到f的參數將接着展開,生成f(f(Y(f)))。這個過程永遠重複下去(直到系統耗盡內存),而不會實際上求值f的主體。

例子

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考慮階乘函數(使用邱奇數)。平常的遞歸數學等式

fact(n) = if n=0 then 1 else n * fact(n-1)

可以用lambda演算把這個遞歸的一個「單一步驟」表達為

F = λf. λx. (ISZERO x) 1 (MULT x (f (PRED x))),

這裏的"f"是給階乘函數的佔位參數,用於傳遞給自身。 函數F進行求值遞歸公式中的一個單一步驟。 應用fix算子得到

fix(F)(n) = F(fix(F))(n)
fix(F)(n) = λx. (ISZERO x) 1 (MULT x (fix(F) (PRED x)))(n)
fix(F)(n) = (ISZERO n) 1 (MULT n (fix(F) (PRED n)))我們可以簡寫fix(F)為fact,得到
fact(n) = (ISZERO n) 1 (MULT n (fact(PRED n)))所以我們見到了不動點算子確實把我們的非遞歸的「階乘步驟」函數轉換成滿足預期等式的遞歸函數。

其他不動點組合子

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Y組合子的可以在傳值調用的應用序求值中使用的變體,由普通Y組合子的部分的η-展開給出:

Z = λf.(λx. f (λy. x x y)) (λx. f (λy. x x y))

Y組合子用SKI-演算表達為

Y = S (K (S I I)) (S (S (K S) K) (K (S I I)))在SK-演算中最簡單的組合子由John Tromp發現,它是
Y' = S S K (S (K (S S (S (S S K)))) K)它對應於lambda表達式
Y' = (λx.λy. x y x) (λy.λx. y (x y x))

另一個常見不動點組合子是圖靈不動點組合子(阿蘭·圖靈發現的):

Θ = (λx.λy.(y (x x y))) (λx.λy.(y (x x y)))它也有一個簡單的傳值調用形式:
Θv = (λx.λy.(y (λz. x x y z))) (λx.λy.(y (λz. x x y z)))

參見

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外部連結

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