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副本方法

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統計物理中,副本方法(Replica method)是研究無序態體系所用到的一種數學技巧,尤其用於淬火無序(Quenched disorder)的自旋玻璃模型的自由能計算。[1]它用到了如下恆等極限式:其中是配分函數或者其它類似的熱力學函數。這些極限式的應用則被稱為副本技巧(Replica trick)。

思想

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對於淬火無序體系,有物理意義的自由能是,為對數的平均值,其值難以求算。使用副本技巧則可繞過這一困難。假設有n個相同的「副本」,其中n為整數,這些由副本所組成體系的配分函數為。因為副本之間相互獨立,Zn的平均相對易求。接着,副本方法解析延拓至n等於0,得到表示無序平均自由能的對數之和。雖然在數學上似有道理,但其在物理上反直覺,然而與至今得到的精確解相比較,結果總是一致的。

前面假設各副本性質相同相互獨立,這種情況稱為副本對稱(Replica Symmetry,RS)的解。但為了描述各態歷經性破壞使得各副本並不相同的狀態,需要引入副本對稱破缺(Replica Symmetry Breaking,RSB)的解。在這種情況下,有些副本之間的狀態不再相互獨立,即存在耦合。例如,此時可假設有個副本,m個副本間的耦合在熱力學極限下無限小,而n是為了應用副本技巧而構造。若這種方法算出的自由能比RS解的結果低,那麼在此條件下系統出現了對稱破缺。[2]

應用

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副本方法用於確定無序系統的基態,在內涵上與許多組合優化問題有異曲同工之處。例如,應用該方法分析旅行商問題[3]

參考資料

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  1. ^ Parisi, Giorgio. On the replica approach to spin glasses. 17 January 1997 [2017-08-03]. (原始內容存檔於2011-09-29). 
  2. ^ Patrick Charbonneau. Lecture Notes on the Statistical Mechanics of Disordered Systems. 2017. arXiv:1705.07072可免費查閱. 
  3. ^ Marc Mézard; Giorgio Parisi. A replica analysis of the travelling salesman problem. Journal de Physique. 1986, 47 (8): 1285-1296.