吉布斯採樣

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吉布斯採樣英語:Gibbs sampling)是統計學中用於馬爾科夫蒙特卡洛(MCMC)的一種算法,用於在難以直接採樣時從某一多變量概率分佈中近似抽取樣本序列。該序列可用於近似聯合分佈、部分變量的邊緣分佈或計算積分(如某一變量的期望值)。某些變量可能為已知變量,故對這些變量並不需要採樣。

吉布斯採樣常用於統計推斷(尤其是貝葉斯推斷)之中。這是一種隨機化算法,與最大期望算法等統計推斷中的確定性算法相區別。與其他MCMC算法一樣,吉布斯採樣從馬爾科夫鏈中抽取樣本,可以看作是Metropolis–Hastings算法的特例。

該算法的名稱源於約西亞·威拉德·吉布斯,由斯圖爾特·傑曼英語Stuart Geman唐納德·傑曼英語Donald Geman兄弟於1984年提出。[1]

算法[編輯]

吉布斯採樣適用於條件分佈比邊緣分佈更容易採樣的多變量分佈。假設我們需要從聯合分佈中抽取個樣本。記第個樣本為。吉布斯採樣的過程則為:

  1. 確定初始值
  2. 假設已得到樣本,記下一個樣本為。於是可將其看作一個向量,對其中某一分量,可通過在其他分量已知的條件下該分量的概率分佈來抽取該分量。對於此條件概率,我們使用樣本中已得到的分量以及上一樣本中的分量,即
  3. 重複上述過程次。

在採樣完成後,我們可以用這些樣本來近似所有變量的聯合分佈。如果僅考慮其中部分變量,則可以得到這些變量的邊緣分佈。此外,我們還可以對所有樣本求某一變量的平均值來估計該變量的期望。

參考文獻[編輯]

  1. ^ Geman, S.; Geman, D. Stochastic Relaxation, Gibbs Distributions, and the Bayesian Restoration of Images. IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence. 1984, 6 (6): 721–741. doi:10.1109/TPAMI.1984.4767596. 
  • Bishop, Christopher M., Pattern Recognition and Machine Learning, Springer, 2006, ISBN 0-387-31073-8 
  • Bolstad, William M. (2010), Understanding Computational Bayesian Statistics, John Wiley ISBN 978-0-470-04609-8
  • Casella, G.; George, E. I. Explaining the Gibbs Sampler. The American Statistician. 1992, 46 (3): 167. JSTOR 2685208. doi:10.2307/2685208. 
  • Gelfand, Alan E.; Smith, Adrian F. M., Sampling-Based Approaches to Calculating Marginal Densities, Journal of the American Statistical Association, 1990, 85 (410): 398–409, JSTOR 2289776, MR 1141740, doi:10.2307/2289776 
  • Gelman, A., Carlin J. B., Stern H. S., Dunson D., Vehtari A., Rubin D. B. (2013), Bayesian Data Analysis, third edition. London: Chapman & Hall.
  • Levin, David A.; Peres, Yuval; Wilmer, Elizabeth L. (2008), "Markov Chains and Mixing Times", American Mathematical Society.
  • Robert, C. P.; Casella, G. (2004), Monte Carlo Statistical Methods (second edition), Springer-Verlag.