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常用對數

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The graph shows that log base ten of x rapidly approaches minus infinity as x approaches zero, but gradually rises to the value two as x approaches one hundred.
由0.1到100的常用對數

標準對數,也稱常用對數(英語:Common logarithm[註 1])在數學是以10底數對數函數,其逆函數是以10作基數指數函數

底為10的對數表達式以log10(x)表示,有時以英文大寫字母L表示Log(x)[註 2]。計算機的標記通常是「log」,但數學家通常區分自然對數[註 3]和常用對數。為了區分開來,ISO 80000規範建議log10(x)應寫成lg (x),logₑ(x)應寫成ln (x)。

數學表達

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常用對數一般表示成,或簡寫成,正式寫法是;而常用對數逆函數為

用途

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常用對數表,顯示數字1000到1500的常用對數至五位小數,全表涵蓋大至9999的數

常用對數可令「十變一,億變八」(數算整數位以上的零的數目),多數用於比較並表達聲音強度分貝)、酸鹼值、地震規模(芮氏震級)、星等等相差層次很大的數值。常見例子是化學用的氫離子指數,定義如

20世紀70年代初之前還沒有手持電子計算器可用,能倍增的機械計算器體積龐大,價格昂貴並不廣泛使用。相反,當計算所需的精度比使用計算尺能達到的要求更高時,科學,工程和導航用的是底數為10的對數表格。使用對數避免了繁瑣且容易出錯的筆算乘法和分割。對數非常有用,許多教科書的附錄都有底為10的對數表格。數學和導航手冊也包括三角函數的對數表。

底為10的對數一個重要特性使得它們在計算中非常有用,大於1的對數相差10倍的冪,小數部分都相同,對數表只需顯示小數部分,稱尾數(mantissa)。常用對數表通常列出範圍內各數的尾數,小數點後4至5位,如1000到9999。這範圍涵蓋尾數的所有可能值。

整數部分稱特徵(characteristic),可數算小數點必須移動多少位來計算,以便它僅在第一有效位的右側,如120的對數由以下計算得出:

log120=log(10²×1.2)=2+log1.2≈2+0.07918。

最後數字(小數部分0.07918,或120的常用對數尾數)可在下表找到。小數點在120的位置告訴我們120的常用對數特徵是2。

大於0且小於1的數字有負對數,為了避免需要另外的表格將正負對數轉換回原數,有時會用小節符號表示:

特徵上的橫線表明其為負值,而尾數仍為正值,符號讀作「bar n」,讀作「bar 2 point 07918」。

以下示例用小節符號計算0.012×0.85=0.0102:

下表顯示如何將相同的尾數用於不同10次方的數字範圍:

一數乘不同10次方之常用對數、特徵及尾數
數:5×10i 常用對數:logn 特徵i:floor(logn) 尾數logn-特徵 combined form
5000000 6.698970… 6 0.698970… 6.698970…
50 1.698970… 1 0.698970… 1.698970…
5 0.698970… 0 0.698970… 0.698970…
0.5 −0.301029… −1 0.698970… 1.698970…
0.000005 −5.301029… −6 0.698970… 6.698970…

尾數對所有5×10i都通用,適用於任何正實數

對數表每條尾數可以只列一次。在5×10i的例子中,0.698970(004336018…)列在5(或0.5或500等)之下一次。

歷史

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以10為底的對數對計算最常用,工程師通常簡寫成「 lg( x ) 」。另一方面,數學家在表示自然對數的logₑ(x)時會寫成「 ln(x)」,這兩種符號現今都廣泛使用。

手持電子計算器由工程師而非數學家設計,遵循工程師的符號已成為慣例;記法「ln(x)」在發明電子計算器後大幅普及。

數值

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註釋

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  1. ^ 或稱為布里格斯對數,以紀念率先使用的英國數學家Henry Briggs命名
  2. ^ 然而這個符號是不明確的,因為它也可能意味着複數自然對數多值函數
  3. ^ 底數e≈2.71828的對數

參見

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