補數

補數（complement）是對於給定的進位制，相加後能使自然數 a 的位數增加 1 的最小的數。可以在計算電路中，代替減 $x$ 的操作，而僅僅使用加法器元件（加法器）的「加上 $x$ 的補數（無視最高位的進位）」，達到相同的效果。

定義

設b 進制表示自然數 a 至少需要 n 位數字，規定

$b^{n}-a$ 是「b 進制數 a 的關於基數的補數（b 的補數）」
$b^{n}-a-1$ 是「b 進制數 a 的關於減基數的補數（b - 1 的補數，簡稱減補數、儕補數）」。

例如，十進制自然數 61 關於基數 10 的補數是 $10^{2}-61=39$ 。二進制自然數 $10010_{2}(=18_{10})$ 關於基數 2 的補數是 $2^{5}-18=1110_{2}(=14_{10})$ 。

由定義可以得出，a 的基數的補數 加上 a，可以得到位數多一位的最小的自然數（ $=b^{n}$ ）。a 的減基數的補數 加上 a ，可以得到位數不增加的最大的自然數（ $=b^{n}-1$ ）。

基數 b 在上下文中明確的時候，「在b 進制中」的描述通常被省略。

但是，在基數不明確的情況下，「 $\beta$ 的補數」表示的可以是 $(\beta +1)$ 進制的減基數的補數，也可是 $\beta$ 進制的基數的補數，從而產生歧義（這兩者的值不一定是相等的）。例如，僅僅說「9的補數」，無法確定指的是「10進制中的減基數的補數」還是「9進制中的基數的補數」。

在英文中，十進制的基數的補數記為 ten's complement，減基數的補數稱為 nines' complement。二進制中，基數的補數稱為 two's complement，減基數的補數稱為 ones' complement。其他進制也有類似的稱法。一些人，如高德納，建議採用撇號區分。這樣，four's complement指的是四進制中的基數的補數。而fours' complement指的是五進制中的減基數的補數。但是，這並不是普遍的做法，而且在幾乎所有情況下進制是明確的。多數作者寫做 one's和nine's complement，一些格式手冊建議採用 ones和nines complement，不採用撇號。

計算方法

對於N進制的自然數a，從個位開始的各位數字

a_{0},a_{1},...,a_{r-1},a_{r}

規定 $a_{r}$ 不能為0。規定 $b_{i}$ 的各位為：

b_i = (N + 1) + a_i

這時，N進制形如的

a_{0},a_{1},...,a_{r-1},a_{r}

數 $b$ 即稱為「 $a$ 的關於 $(N+1)$ 的補數」。

10進制的舉例

求十進制數 2304671 的補數。由於 9 = 2 + 7 = 3 + 6 = 0 + 9 = 4 + 5 = 6 + 3 = 7 + 2 = 1 + 8 ，令N=9時，自然數2304671對應的補數為 7695328 。 7695328 + 1 = 7695329 ，因此N=10時，自然數2304671對應的補數是 7695329。

2進制的舉例

二進制中有 1 + 1 = 0, 1 + 0 = 1，求1的補數只需簡單地將0與1相互替換。（位元運算中的邏輯非運算）。

求二補碼（即二補碼），只需要將1的補數加1。

二進制的 101010110 對應的1的補數是 010101001。
2 的補數是 010101001 + 1 = 010101010。

參考文獻

JIS X 0005:2002 情報処理用語（データの表現） 05.08

Donald E. Knuth 『The Art of Computer Programming Vol. 2 Seminumerical Algorithms Third Ed. 日本語版』アスキー、2004年、191頁。 (ISBN 4-7561-4543-4)

定義

計算方法

10進制的舉例

2進制的舉例

參考文獻

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