量子耗散的研究目標是在量子力學的基礎上推導出經典耗散定律。量子耗散與量子去相干有緊密聯繫。它在量子力學的層面上研究了能量的不可逆損耗。
量子力學建立在哈密頓量的基礎上,系統總能量守恆,原則上講,這樣的系統不可能描述能量耗散過程。為了克服這個局限性,將系統分作兩部分,一部分是能量發生耗散的系統,一部分叫做「浴」,即該系統所處的環境,系統耗散掉的能量將會流入浴中。系統與浴的耦合取決於描述浴的微觀細節。為了不可逆的能量流動,浴含有無數個自由度。
1963年,費曼與Vernon的文章里給出了關於浴的最簡單的模型,浴被看作是由無數個諧振子組成的集合。量子力學中,諧振子可用於描述自由玻色子。
1981年,Amir Caldeira 和 Anthony J. Leggett 提出了一個簡單模型,從量子角度深入解釋了耗散過程。[1]該模型描述了一維的系統與浴的耦合。其哈密頓量為
,
前兩項是系統的哈密頓量,第三項是浴的哈密頓量,代表了無數個諧振子之和。第四項描述了系統與浴的相互作用,在Caldeira-Leggett模型中,耦合與系統位置有關,而第五項則用於保證耗散最終在空間中是各向同性的。因為浴與系統的耦合依賴於系統坐標,如果不包含第五項,模型不能滿足平移不變性,這將導致系統與浴的相互作用與系統所處位置有關。
為了更方便的對浴建模,通常使用浴的譜密度函數
![{\displaystyle J(\omega )={\frac {\pi }{2}}\sum _{i}{\frac {C_{i}^{2}}{m_{i}\omega _{i}}}\delta (\omega -\omega _{i})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/150ae1c1d26412b6b567387958c3541208f593eb)
當趨近於經典極限時,即
時,通過路徑積分計算,對所有浴的自由度積分可獲得系統在浴的平均作用下的有效動力學,可得到如下運動方程式
![{\displaystyle M{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}X(t)=-{\frac {\partial V(X)}{\partial X}}-\int _{0}^{T}dt'\alpha (t-t')(X(t)-X(t'))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55715bb6c2ebf755c61c3b33af21710982ba012b)
其中,
![{\displaystyle \alpha (t-t')={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{\infty }J(\omega )e^{-\omega |t-t'|}d\omega }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d2e349b0703396003c21e4f2b37e1b9fc68f804)
描述了耗散過程存在下影響粒子運動的有效力。對於馬可夫浴,即浴與系統相互作用只與當前狀態有關,以及歐姆耗散,上述方程式簡化為經典粒子在摩擦力作用下的運動方程式
![{\displaystyle M{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}X(t)=-{\frac {\partial V(X)}{\partial X}}-\eta {\frac {dX(t)}{dt}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a071a8e37e20c00d2a19e98262b5c545a7885c0)
因此,人們可以通過 Caldeira-Leggett 模型從量子角度解釋經典耗散過程。
- ^ A. Caldeira and A. J. Leggett, Influence of dissipation on quantum tunneling in macroscopic systems, Phys. Rev. Lett., vol. 46, p. 211, 1981