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錢包悖論

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錢包悖論,又稱錢包遊戲,是概率論中的一個悖論

內容

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A和B兩人進行一場賭博

賭法是:由第三者計算A、B二者錢包裏面的,錢少者可以贏走錢多者的錢。

A對於這場賭博的想法為:若B的錢比我少,我可能輸掉我現有的錢。但若B的錢比我多,我贏了,就會得到多於我現有的錢。我能夠贏的錢比輸的錢多,所以這場賭博對我有利。

而B的想法也是如此。

二人想法的邏輯都正確,但若認為二人的想法都正確,又將做出這場賭博對A、B二人都有利的錯誤結論。這顯然是一個悖論

來源

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錢包悖論源自法國數學家莫里斯·克萊特契克,在他的《數學消遣》書中賭的是領帶而非.

「有兩個人都聲稱他的領帶好一些。他們叫來了第三個人,讓他作出裁決到底誰的好。勝者必須拿出他的領帶給敗者作為安慰。兩個爭執者都這樣想:我知道我的領帶值多少。我也許會失去它,可是我也可能贏得一條更好的領帶,所以這種比賽是對我有利。一個比賽怎麼會對雙方都有利呢?」

分析

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克萊特契克的分析

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克萊特契克在他的書中指明必須限制條件,這才是一場公平的遊戲,例如A,B二人對對方穿領帶的習慣一無所知等。

他還假定每一個比賽者帶有從0到任意數量(比如說一百元)的錢。以此假定構成兩人錢數的矩陣,就可看出這個此賽是「對稱的」,不會偏向任何一方。

但他沒有指出兩個比賽者的想法錯在哪裏。

考慮勝算

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其實問題就在A,B二人只以「可以贏更多的錢」這點,就做出這場賭博對自己有利的結論,當然是錯誤的。 這場賭博應從勝算去判斷對誰有利,而不是以「可以贏更多的錢」來判斷

若以誰有勝算來判斷,必須注意二點:

  1. 必須計算期望值
  2. 「錢包里有多少錢」是很隨機的。無法有一定的標準。難以論定這場賭博的勝負,但若將「所有人類的錢包里的錢」相加後除以全人類數目,還是可以得出一個平均值

若錢包里的錢比平均值小,那勝算比較大,反之較小。各國家,各地區人的錢包里的平均值都不一樣,全人類太廣泛,以國家,地區來分更加有勝算。

但就算是費很大力氣來得到這平均值,還是很難確定有勝算的。由此可見A,B二人認為這場賭博對自己有利的結論是做得多麼輕易,缺乏思考。

其實最有勝算的方法是知道對方的錢包里有多少錢。


另一種分析

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錢包只有二個,所以錢包里的錢只存在二個數:

X,Y,設X>Y。

A有1/2機會是X,1/2機會是Y;B也如是。

如果A的錢是Y,則贏得X;如果A的錢是X,則輸掉X;B也如是。

結論:1/2機會贏,1/2機會輸。

而A,B想法的問題出在,他們假設了3個數:

設A有X元,B有Y元,或Z元(Z>X)。

但實際上只存在2個數,所以這是錯誤的論證,推理出錯誤的結論。

還有一種分析

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假如A(或B)有可賭性,那麼A(或B)錢數的可能性的最大值和最小值是一樣的,還有可能性的最大值是有限的。可A(或B)覺得無論自己的值是多少,對方都可能超越,可是當自己為可能性的最大值時,則沒有可能被超越,否則的話勝算則偏向可能性的最大值小的一方。對方可能性的最大值被認為是無限制的話,就導致了贏的可能性不會隨錢數的增加而減少。

貝葉斯分析

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如果錢數存在先驗概率分佈,則可以給出贏錢的期望值以及輸贏概率。由於先驗概率在錢數很大時恆等於零,容易證明無腦交換平均不會有收益[1]

現實例子

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最常見的就是在賭博時,期待「如果贏的話、會贏得比輸得更多」。例如玩吃角子老虎機時認為「就算只中櫻桃,也是翻五倍!」但問題在於未必會中獎。

參考資料

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  1. ^ Zhu, Peijun. 对换钱的贝叶斯分析. Peijun's Thoughts. 2017-04-04 [2017-04-10]. (原始內容存檔於2019-07-01) (中文(中國大陸)).