非自治系統

數學中，自治系統指光滑流形上的動力方程；非自治系統（non-autonomous system）則是$\mathbb {R}$上的光滑纖維叢$Q\to \mathbb {R}$上的動力方程。這是非自治力學的情形。

纖維叢$Q\to \mathbb {R}$上的r階微分方程由$Q\to \mathbb {R}$的節叢$J^{r}Q$的閉子叢表示。$Q\to \mathbb {R}$上的動力方程是微分方程，高階導數可用代數方法求解。

特別地，纖維叢$Q\to \mathbb {R}$上的1階動力方程是$Q\to \mathbb {R}$上某聯絡$\Gamma$的協變微商的核。給定Q上的叢坐標$(t,q^{i})$和1階節流形$J^{1}Q$上的適應（adapted）坐標$(t,q^{i},q_{t}^{i})$，1階動力方程為

$q_{t}^{i}=\Gamma (t,q^{i}).$

這是哈密頓非自治力學的情形。

$Q\to \mathbb {R}$上的2階動力方程

$q_{tt}^{i}=\xi ^{i}(t,q^{j},q_{t}^{j})$

定義為節叢$J^{1}Q\to \mathbb {R}$上的完整（holonomic）聯絡$\xi$，此方程也可用仿射節叢$J^{1}Q\to Q$上的聯絡表示。由於規範嵌入$J^{1}Q\to TQ$，其等價於Q的切叢$TQ$上的測地線方程。非自治力學中的自由運動方程是2階非自治動力方程的例子。

另見

• 自治系統 (數學)
• 非自治力學
• 自由運動方程
• 相對系統

參考文獻

• De Leon, M., Rodrigues, P., Methods of Differential Geometry in Analytical Mechanics (North Holland, 1989).
• Giachetta, G., Mangiarotti, L., Sardanashvily, G., Geometric Formulation of Classical and Quantum Mechanics (World Scientific, 2010) ISBN 981-4313-72-6 ().