古德斯坦定理

古德斯坦定理是數理邏輯中的一個關於自然數的敘述，是在 1944 年由魯本·古德斯坦所證明。其主要是在說明「古德斯坦序列」最終會結束於 0 。柯比和柏麗斯 證明它在皮亞諾算術中是不可證明的（但它可以在一個更強的系統如二階算術中被證明）。這是繼哥德爾不完備定理構造的命題（${\mathsf {Cons(PA)}}$）和 1943 年格哈德·根岑直接證明皮亞諾算術中 ε₀-induction 不可被證明之後，第三個（對自然數為真的）命題被證明在皮亞諾算術中不可證明。之後的例子是柏麗斯–哈靈頓定理。

勞倫斯·柯比和傑夫·柏麗斯介紹了一個圖論中的九頭蛇遊戲，其行為類似古德斯坦序列：「九頭蛇」是一棵有根的樹，而序列每一步是砍掉它的一顆頭（即樹的分支），然後九頭蛇則對應地會依據某些規則來增加有限數量的頭。柯比和柏麗斯則證明，不管赫拉克勒斯使用何種策略來砍頭，九頭蛇最終會被斬殺（儘管這個過程可能會非常漫長）。如古德斯坦序列，柯比和柏麗斯證明其在皮亞諾算術中是不可證明的。

以n為基底的瓜瓞式基底表示法

古德斯坦序列是由一種「以n為基底的瓜瓞式表示法」的概念來定義的。這個表示法與平常的 n 進位制表示法很像，但一般的進位表示法無法達到古德斯坦定理的目的。在原本的 n 進位表示法，n 是一個大於 1 的自然數，而任一個自然數 m 則被改寫為一些由 n 的冪次的乘積的相加之和：

$m=a_{k}n^{k}+a_{k-1}n^{k-1}+\cdots +a_{0},$

其中，每個系數 a_i 滿足0 ≤ a_i < n，且a_k ≠ 0。如在 2 進位中，

$35=32+2+1=2^{5}+2^{1}+2^{0}.$

所以， 35 的二進位是 100011（2⁵ + 2 + 1）。類似地，由 3 進位表示的 100 是 10201:

$100=81+18+1=3^{4}+2\cdot 3^{2}+3^{0}.$

然而需注意的是，這些指數仍非是基於 n 的表述法。如上述表示式中的 2⁵ 和 3⁴ 。

將一個 n 進位表示轉換為瓜瓞式n基底表示法，首先要將每個指數改為 n 基底表示法。然後改寫指數中的指數，持續這個動作直到每個數都被改為以 n 為基底表示法。

譬如， 2 進位的 35 為 100011 ，將它改寫成以 n 為基底的瓜瓞式表示法為：

$35=2^{2^{2}+1}+2+1,$

(5 = 2² + 1.) 。類似的，以3為基底的瓜瓞式表示法的 100 為

$100=3^{3+1}+2\cdot 3^{2}+1.$

古德斯坦序列

古德斯坦序列 G(m) 是一個自然數的序列。第一項為 m 本身。第二項則是先將 m 以 2 為基底得出其的瓜瓞式表示法，再將所有的 2 改為 3，再減去 1。更一般地，第 (n + 1) 項的 G(m)(n + 1) 為：

• 將 G(m)(n) 轉為以 n + 1 為基底的瓜瓞式表示法。
• 將所有的 n + 1 改為 n + 2 。
• 減 1。
• 重復這個過程，直到結果為 0 則停止。

前幾個古德斯坦序列會很快地終止，如 G(3) 結束於第 6 步：

基底	瓜瓞式表示法	值	註記
2	$2^{1}+1$	3	以 2 為基底改寫 3。
3	$3^{1}+1-1=3^{1}$	3	將 2 改為 3，再減 1。
4	$4^{1}-1=3$	3	將 3 改為 4，再減 1。此時已無任何 4 了。
5	$3-1=2$	2	沒有 4 需要改為 5。單純減 1。
6	$2-1=1$	1	沒有 5 需要改為 6。單純減 1。
7	$1-1=0$	0	沒有 6 需要改為 7。單純減 1。

之後的古德斯坦序列則成長到很龐大的數字，如 G(4) A056193 開始如下：

瓜瓞式表示法	值
$2^{2}$	4
$3^{3}-1=2\cdot 3^{2}+2\cdot 3+2$	26
$2\cdot 4^{2}+2\cdot 4+1$	41
$2\cdot 5^{2}+2\cdot 5$	60
$2\cdot 6^{2}+2\cdot 6-1=2\cdot 6^{2}+6+5$	83
$2\cdot 7^{2}+7+4$	109
$\vdots$	$\vdots$
$2\cdot 11^{2}+11$	253
$2\cdot 12^{2}+12-1=2\cdot 12^{2}+11$	299
$\vdots$	$\vdots$
$2\cdot 24^{2}-1=24^{2}+24\cdot 23+23$	1151

G(4) 會一直遞增，直到基底為 $3\cdot 2^{402\,653\,209}$ 時，會達到最大值 $3\cdot 2^{402\,653\,210}-1$ ，並在這裏停留 $3\cdot 2^{402\,653\,209}$ 步後，然後開始遞減。

這個序列到達 0 時，當時的基底為 $3\cdot 2^{402\,653\,211}-1$。（有趣的是，這是個胡道爾數：$3\cdot 2^{402\,653\,211}-1=402\,653\,184\cdot 2^{402\,653\,184}-1$。而且，對於所有起始值大於 4 的數，都是如此。）

不過，G(4) 仍無法很好地展示古德斯坦序列的項數是如何快速地成長。G(19) 成長更迅速，其開頭幾項如下：

瓜瓞式表示法	值
$2^{2^{2}}+2+1$	19
$3^{3^{3}}+3$	7012762559748499000♠7625597484990
$4^{4^{4}}+3$	$\approx 1.3\times 10^{154}$
$5^{5^{5}}+2$	$\approx 1.8\times 10^{2184}$
$6^{6^{6}}+1$	$\approx 2.6\times 10^{36\,305}$
$7^{7^{7}}$	$\approx 3.8\times 10^{695\,974}$
$8^{8^{8}}-1=7\cdot 8^{(7\cdot 8^{7}+7\cdot 8^{6}+7\cdot 8^{5}+7\cdot 8^{4}+7\cdot 8^{3}+7\cdot 8^{2}+7\cdot 8+7)}$ $+7\cdot 8^{(7\cdot 8^{7}+7\cdot 8^{6}+7\cdot 8^{5}+7\cdot 8^{4}+7\cdot 8^{3}+7\cdot 8^{2}+7\cdot 8+6)}+\cdots$ $+7\cdot 8^{(8+2)}+7\cdot 8^{(8+1)}+7\cdot 8^{8}$ $+7\cdot 8^{7}+7\cdot 8^{6}+7\cdot 8^{5}+7\cdot 8^{4}$ $+7\cdot 8^{3}+7\cdot 8^{2}+7\cdot 8+7$	$\approx 6\times 10^{15\,151\,335}$
$7\cdot 9^{(7\cdot 9^{7}+7\cdot 9^{6}+7\cdot 9^{5}+7\cdot 9^{4}+7\cdot 9^{3}+7\cdot 9^{2}+7\cdot 9+7)}$ $+7\cdot 9^{(7\cdot 9^{7}+7\cdot 9^{6}+7\cdot 9^{5}+7\cdot 9^{4}+7\cdot 9^{3}+7\cdot 9^{2}+7\cdot 9+6)}+\cdots$ $+7\cdot 9^{(9+2)}+7\cdot 9^{(9+1)}+7\cdot 9^{9}$ $+7\cdot 9^{7}+7\cdot 9^{6}+7\cdot 9^{5}+7\cdot 9^{4}$ $+7\cdot 9^{3}+7\cdot 9^{2}+7\cdot 9+6$	$\approx 4.3\times 10^{369\,693\,099}$
$\vdots$	$\vdots$

儘管其成長如此迅速，古德斯坦定理說明了無論起始值為何，每個古德斯坦最終會終止於 0。

證明

古德斯坦定理的證明（需要使用皮亞諾算術以外的技巧）如下： 對於每個給定的古德斯坦序列 G(m) ，我們可以建造一個由序數所組成的平行序列 P(m) ，而且是嚴格遞減和終止。所以G(m) 也必將停止，並且它只在達到 0 時才會終止。

對這個證明的常見的誤解在於認 G(m) 達到 0 是「因為」它被 P(m) 所支配。事實是，P(m) 對支配 G(m) 毫無作用。其重點在於： G(m)(k) 存在當且僅當 P(m)(k) 存在。於是，如果 P(m) 終止，則 G(m) 也如此。而 G(m) 只有在到逹 0 時才會終止。

我們可以定義函數 f(x)，將 x 改為以k為基底的表示法，並將每個 k 換成第一個無窮序數 ω。 而序列 P(m) 中的每一項 P(m)(n) 則定義為 f(G(m)(n),n+1)。譬如，G(3)(1) = 3 = 2¹ + 2⁰ 和 P(3)(1) = f(2¹ + 2⁰,2) = ω¹ + ω⁰ = ω + 1 。序數的加法、乘法和指數都是良好定義的。

我們可聲明 $f(G(m)(n),n+1)>f(G(m)(n+1),n+2)$ 。在古德斯坦序列中，將 G(m)(n) 改換基底後，將其記為 $G'(m)(n)$ 。明顯的，$f(G(m)(n),n+1)=f(G'(m)(n),n+2)$ ，現在我們套用 -1 運算後，因為 $G'(m)(n)=G(m)(n+1)+1$，所以 $f(G'(m)(n),n+2)>f(G(m)(n+1),n+2)$。

譬如， $G(4)(1)=2^{2}$ 乃 $G(4,2)=2\cdot 3^{2}+2\cdot 3+2$，所以 $f(2^{2},2)=\omega ^{\omega }$ 和 $f(2\cdot 3^{2}+2\cdot 3+2,3)=2\omega ^{2}+2\omega +2$ 是嚴格變小。需注意的是，若要計算 f(G(m)(n),n+1) ，我們要先將 G(m)(n) 改為以 n+1 為基底的表示法。所以如 $\omega ^{\omega }-1$ 等的表示式，既不會是無意義的也非等同 $\omega ^{\omega }$ 。

P(m) 是嚴格遞減的。而標準排序運算元 < 在序數上是良基關係，一個無窮的嚴格遞減序列是不可能存在的。換句話說，每個嚴格遞減的序數序列會停止（不可能無限）。但P(m)(n) 是由 G(m)(n) 計算出來的。 G(m)(n) 也必然停止，這意味着它會達到 0 。

雖然這個證明相當簡單，但柯比-柏麗斯定理 （證明了在皮亞諾算術中不會有古德斯坦定理）則是非常專門且相當困難。它使用了皮亞諾算術中的可數非標準模型。

擴展的古德斯坦定理

假設古德斯坦定理的定義中的「將b改為b+1」的這個動作，將它改為 b+2，那麼這個序列會終止嗎？ 更一般地，讓 b₁, b₂, b₃, … 為任意整數列，然後讓第 n+1 項的 G(m)(n+1) 變成： 將 G(m)(n) 改為 b_n 的表示法，將 b_n 改為 b_n+1 再減 1 。 我們仍可斷言這個序列仍會終止。 擴展的證明則將 P(m)(n) = f(G(m)(n), n) 定義為如下： 將 G(m)(n) 改為 b_n 表示法，再將所有的 b_n 改為第一個無限序數 ω。 古德斯坦序列中，從G(m)(n)到G(m)(n+1)的換底運算並不會改變 f 的值。 譬如，如果 b_n = 4 且 b_n+1 = 9， 則 $f(3\cdot 4^{4^{4}}+4,4)=3\omega ^{\omega ^{\omega }}+\omega =f(3\cdot 9^{9^{9}}+9,9)$。因此，序數 $f(3\cdot 4^{4^{4}}+4,4)$ 是 嚴格大於序數 $f((3\cdot 9^{9^{9}}+9)-1,9)$。

起始點為變量的序列長度函數

古德斯坦函數 ${\mathcal {G}}(n)$ 定義為由 n 為起始值的古德斯坦序列的長度。因為古德斯坦序列會終止，所以這是一個完全函數。要測定 ${\mathcal {G}}$ 的快速成長，可由多種藉由標準基於序數體系中的函數，如Hardy hierarchy 中的 $H_{\alpha }$ 函數，和 Löb and Wainer 的 高成長體系 $f_{\alpha }$ 函數。

• Kirby and Paris (1982) 證明

${\mathcal {G}}$ 有着和 $H_{\epsilon _{0}}$ 近似的成長速度（等同於 $f_{\epsilon _{0}}$）; 更精確地說，對每個 $\alpha <\epsilon _{0}$，${\mathcal {G}}$ 控制 $H_{\alpha }$，且 $H_{\epsilon _{0}}$ 控制 ${\mathcal {G}}\,\!$。

(對兩個函數 $f,g:\mathbb {N} \to \mathbb {N}$，我們說 $f$ 控制 $g$ 是指，如果對於所有足夠大的 $n$ ，都有 $f(n)>g(n)$。）

• Cichon (1983) 證明

${\mathcal {G}}(n)=H_{R_{2}^{\omega }(n+1)}(1)-1,$

其中 $R_{2}^{\omega }(n)$ 是將 n 改為以 2 為基底的瓜瓞式表示法，並將所有 2 改為 ω 的結果（即古德斯坦定理的證明中所做的事）。

• Caicedo (2007) 證明如果 $n=2^{m_{1}}+2^{m_{2}}+\cdots +2^{m_{k}}$ 且有 $m_{1}>m_{2}>\cdots >m_{k},$ then

${\mathcal {G}}(n)=f_{R_{2}^{\omega }(m_{1})}(f_{R_{2}^{\omega }(m_{2})}(\cdots (f_{R_{2}^{\omega }(m_{k})}(3))\cdots ))-2$.

一些例子如下：

n			${\mathcal {G}}(n)$
1	$2^{0}$	$2-1$	$H_{\omega }(1)-1$	$f_{0}(3)-2$	2
2	$2^{1}$	$2^{1}+1-1$	$H_{\omega +1}(1)-1$	$f_{1}(3)-2$	4
3	$2^{1}+2^{0}$	$2^{2}-1$	$H_{\omega ^{\omega }}(1)-1$	$f_{1}(f_{0}(3))-2$	6
4	$2^{2}$	$2^{2}+1-1$	$H_{\omega ^{\omega }+1}(1)-1$	$f_{\omega }(3)-2$	3·2402653211 − 2 ≈ 6.895080803×10121210694
5	$2^{2}+2^{0}$	$2^{2}+2-1$	$H_{\omega ^{\omega }+\omega }(1)-1$	$f_{\omega }(f_{0}(3))-2$	> A(4,4)>${10^{10^{10^{19728}}}}$
6	$2^{2}+2^{1}$	$2^{2}+2+1-1$	$H_{\omega ^{\omega }+\omega +1}(1)-1$	$f_{\omega }(f_{1}(3))-2$	> A(6,6)
7	$2^{2}+2^{1}+2^{0}$	$2^{2+1}-1$	$H_{\omega ^{\omega +1}}(1)-1$	$f_{\omega }(f_{1}(f_{0}(3)))-2$	> A(8,8)
8	$2^{2+1}$	$2^{2+1}+1-1$	$H_{\omega ^{\omega +1}+1}(1)-1$	$f_{\omega +1}(3)-2$	> A3(3,3) = A(A(61, 61), A(61, 61))
$\vdots$
12	$2^{2+1}+2^{2}$	$2^{2+1}+2^{2}+1-1$	$H_{\omega ^{\omega +1}+\omega ^{\omega }+1}(1)-1$	$f_{\omega +1}(f_{\omega }(3))-2$	> fω+1(64) > 葛立恆數
$\vdots$
19	$2^{2^{2}}+2^{1}+2^{0}$	$2^{2^{2}}+2^{2}-1$	$H_{\omega ^{\omega ^{\omega }}+\omega ^{\omega }}(1)-1$	$f_{\omega ^{\omega }}(f_{1}(f_{0}(3)))-2$

（對於阿克曼函數和葛立恆數的界限，請參考高成長體系。）

可計算函數的應用

古德斯坦定理可用於構造一個全可計算函數，但皮亞諾算術卻不能證明它是全函數。圖靈機可以有效地列舉古德斯坦序列；所以存在一個特殊的圖靈機來計算古德斯坦函數。這個圖靈機只需列舉出 n 的古德斯坦序列，並在遇到 0 時結束，並傳回其長度。因為每個古德斯坦序列終將結束，所以這個函數是完全的。但因為皮亞諾算術不能證明古德斯坦序列會終止，皮亞諾算術不能證明這個圖靈機計算了一個完全函數。

另見

• Non-standard model of arithmetic
• 高成長體系
• Paris–Harrington theorem
• Kanamori–McAloon theorem
• Kruskal's tree theorem

Bibliography

• Goodstein, R., On the restricted ordinal theorem, Journal of Symbolic Logic, 1944, 9 (2): 33–41, JSTOR 2268019, doi:10.2307/2268019 .
• Cichon, E., A Short Proof of Two Recently Discovered Independence Results Using Recursive Theoretic Methods, Proceedings of the American Mathematical Society, 1983, 87 (4): 704–706, JSTOR 2043364, doi:10.2307/2043364 .
• Caicedo, A., Goodstein's function (PDF), Revista Colombiana de Matemáticas, 2007, 41 (2): 381–391 [2019-02-20], （原始內容存檔 (PDF)於2011-10-09） .

外部連結

• 埃里克·韋斯坦因. Goodstein Sequence. MathWorld. 
• Some elements of a proof that Goodstein's theorem is not a theorem of PA, from an undergraduate thesis by Justin T Miller（頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
• A Classification of non standard models of Peano Arithmetic by Goodstein's theorem - Thesis by Dan Kaplan, Franklan and Marshall College Library
• Definitions of Goodstein sequences in the programming languages Ruby and Haskell, as well as a large-scale plot （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
• The Hydra game implemented as a Java applet （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
• Javascript implementation of a variant of the Hydra game （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
• Goodstein Sequences: The Power of a Detour via Infinity（頁面存檔備份，存於互聯網檔案館） - 對古德斯坦序列和九頭蛇遊戲有很好的解譯。