存在量化

  「∃」重新導向至此。關於倒轉的字母E，請見「Ǝ」。關於日語中的片假名，請見「ヨ」。

在謂詞邏輯中，存在量化是對論域內至少一個成員的性質或關係的論斷。在符號邏輯中，存在量詞「∃」是用來指示存在量化的符號。

它相對於聲稱某些謂詞對所有事物都為真的全稱量化。

基礎

要表達「某些自然數自乘得25」這個命題，一種方式是：

$0\times 0=25$，或$1\times 1=25$，或$2\times 2=25$，或$3\times 3=25$，以此類推。

因為使用了「或」一詞，這看上去是邏輯析取。然而形式邏輯中的析取概念卻不能表達出「以此類推」一詞的含義，因此該命題並不能在形式邏輯中解讀。

因此將該命題改述為

存在自然數$n$，$n\times n=25$。

也可表達為

對於某些自然數$n$，$n\times n=25$。

這便是一個使用存在量化的單一命題。該命題比原命題更精確，因為「以此類推」一詞想表示的是要包括所有的自然數、且除此之外不包括任何其它內容，但語言中並沒有明確地陳述這點，這便是「以此類推」一詞不能被形式地解釋的根本原因。

這個新命題為真，因為5是自然數，而當把5代入$n$時，可以得到$5\times 5=25$。儘管大多數自然數$n$都不滿足$n\times n=25$，但存在至少一個解足以舉證存在命題為真。反之，「存在偶數$n$，$n\times n=25$」為假，因為一個偶數解也不存在。

然而，「存在奇數$n$，$n\times n=25$」為真，因為5是奇數。這演示了論域的重要性——確定變量n的取值範圍。限制存在量化的論域要使用邏輯合取。例如「存在奇數$n$，$n\times n=25$」邏輯等價於「存在自然數$n$，$n$是奇數且$n\times n=25$」。這裏的「且」構造出了邏輯合取。

在符號邏輯中，使用存在量詞「∃」（反寫的無襯線體的字母"E"）來表示存在量化。所以如果$P(a,b,c)$是謂詞「$a\times b=c$」，而$\mathbb {N}$則是自然數集，那麼有

$\exists {n}{\in }\mathbb {N} \,P(n,n,25)$

表示的是真命題「存在自然數$n$，$n\times n=25$」。

類似的，如果$Q(n)$是謂詞「$n$是偶數」，那麼有

$\exists {n}{\in }\mathbb {N} \,{\big (}Q(n)\;\!\;\!{\wedge }\;\!\;\!P(n,n,25){\big )}$

表示的是假命題「存在自然數$n$，$n$是偶數且$n\times n=25$」。

引用

• Hinman, P. Fundamentals of Mathematical Logic. A K Peters. 2005. ISBN 978-1-56881-262-5. 

參見

• 全稱量化（∀，for all）
• 量化 (數理邏輯)