受控不變子空間

受控不變子空間（controlled invariant subspace）是控制理論的名詞。考慮一個以狀態空間表示的系統，其受控不變子空間為滿足以下條件的子空間：若系統一開始的初始狀態在此子空間內，有可能控制系統，讓系統始終在此子空間內。此概念是由Giuseppe Basile和Giovanni Marro所提出的（Basile & Marro 1969）。

定義

考慮用以下微分方程表示的線性系統

${\dot {\mathbf {x} }}(t)=A\mathbf {x} (t)+B\mathbf {u} (t).$

此處，x(t) ∈ Rⁿ表示系統的狀態，而u(t) ∈ R^p為輸入。矩陣A and B的大小分別是n × n和n × p。

子空間V ⊂ Rⁿ是受控不變子空間，若針對任意x(0) ∈ V, ，都存在一輸入u(t)使得x(t) ∈ V，對所有非負的t都成立。

性質

子空間V ⊂ Rⁿ是受控不變子空間，若且唯若AV ⊂ V + Im B。若V受控不變子空間，則存在矩陣K使得輸入u(t) = Kx(t)，使狀態維持在V以內，這是簡單的回授控制（Ghosh 1985，Thm 1.1）。

參考資料

• Basile, Giuseppe; Marro, Giovanni, Controlled and conditioned invariant subspaces in linear system theory, Journal of Optimization Theory and Applications, 1969, 3 (5): 306–315, doi:10.1007/BF00931370 .
• Ghosh, Bijoy K., Controlled invariant and feedback controlled invariant subspaces in the design of a generalized dynamical system, Proceedings of the 24th IEEE Conference on Decision and Control, IEEE: 872–873, 1985, doi:10.1109/CDC.1985.268620 .
• Basile, Giuseppe; Marro, Giovanni, Controlled and Conditioned Invariants in Linear System Theory, Englewood Cliffs : Prentice-Hall, 1992 .