受控不变子空间

受控不变子空间（controlled invariant subspace）是控制理论的名词。考虑一个以状态空间表示的系统，其受控不变子空间为满足以下条件的子空间：若系统一开始的初始状态在此子空间内，有可能控制系统，让系统始终在此子空间内。此概念是由Giuseppe Basile和Giovanni Marro所提出的（Basile & Marro 1969）。

定义

考虑用以下微分方程表示的线性系统

${\dot {\mathbf {x} }}(t)=A\mathbf {x} (t)+B\mathbf {u} (t).$

此处，x(t) ∈ Rⁿ表示系统的状态，而u(t) ∈ R^p为输入。矩阵A and B的大小分别是n × n和n × p。

子空间V ⊂ Rⁿ是受控不变子空间，若针对任意x(0) ∈ V, ，都存在一输入u(t)使得x(t) ∈ V，对所有非负的t都成立。

性质

子空间V ⊂ Rⁿ是受控不变子空间，当且仅当AV ⊂ V + Im B。若V受控不变子空间，则存在矩阵K使得输入u(t) = Kx(t)，使状态维持在V以内，这是简单的回授控制（Ghosh 1985，Thm 1.1）。

参考资料

• Basile, Giuseppe; Marro, Giovanni, Controlled and conditioned invariant subspaces in linear system theory, Journal of Optimization Theory and Applications, 1969, 3 (5): 306–315, doi:10.1007/BF00931370 .
• Ghosh, Bijoy K., Controlled invariant and feedback controlled invariant subspaces in the design of a generalized dynamical system, Proceedings of the 24th IEEE Conference on Decision and Control, IEEE: 872–873, 1985, doi:10.1109/CDC.1985.268620 .
• Basile, Giuseppe; Marro, Giovanni, Controlled and Conditioned Invariants in Linear System Theory, Englewood Cliffs : Prentice-Hall, 1992 .