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向量組的秩

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定義

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一般定義

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向量組的秩即為向量組中的任一最大線性無關組所含有的向量個數.

維數定義

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在向量空間n中任意向量組構成的集合(可能是無限的),那麼該與該向量組對應的向量子空間的維數那麼這個就叫該向量組的秩.

舉例

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舉例來說,設有一向量組,若存在r個向量,且r個向量為向量組最大線性無關組,則此最大線性無關組的向量個數r,即為向量組的秩.

假設矩陣A的列秩為r,記矩陣A的列向量為,於是能找到r個線性無關的列向量,使得等式只有零解.另一方面,可知此線性方程組只有零解若且唯若它的行向量組的秩.於是能在此線性方程組的係數矩陣中找到r個線性無關的行向量.注意到這些行向量是由矩陣A的行向量縮短得到的.給這些行向量增加若干個分量,我們就得到矩陣A的r個線性無關的行向量.因此矩陣A的行秩必然列秩.同樣可證矩陣A的列秩行秩.所以行秩等於列秩.記之為矩陣的秩.