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吾妻不等式

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概率論中,吾妻不等式(Azuma's inequality)是關於差有界的鞅的不等式,給出了值的集中情況,以日本數學家吾妻一興英語Kazuoki Azuma(Azuma Kazuoki)命名[1]

陳述

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(或上鞅),且幾乎必然成立。則對任意正整數與正實數

是下鞅時,對稱地有:

是鞅,同時使用以上兩個不等式並利用布林不等式可得:

Doob鞅使用吾妻不等式得到McDiarmid不等式[2],常見於隨機算法的分析中。

吾妻不等式的簡單例子

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是一列獨立且同分佈的隨機變量,代表了拋硬幣的結果(+1代表正面,-1代表反面,正反面出現的概率相等)。

定義,這是一個鞅,而且滿足,允許使用吾妻不等式。具體來說,我們得到

如果令正比於,則這個不等式告訴我們,儘管最大可能值隨線性增大,但是概率隨指數衰減

如果令,得到:

這意味着超過的概率隨而趨於0。

備註

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謝爾蓋·伯恩施坦於1937年證明了一個類似的但條件更弱的不等式[3]。見伯恩施坦不等式

Hoeffding對獨立變量證明了這個結果,而不是鞅的差,並且也注意到做一些小調整,這個結果對鞅的差也是成立的[4]

另見

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參考資料

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  1. ^ Azuma, K. (1967). "Weighted Sums of Certain Dependent Random Variables" (PDF). Tôhoku Mathematical Journal. 19 (3): 357–367. doi:10.2748/tmj/1178243286. MR 0221571.
  2. ^ McDiarmid, C. (1989). "On the method of bounded differences". Surveys in Combinatorics. London Math. Soc. Lectures Notes 141. Cambridge: Cambridge Univ. Press. pp. 148–188. MR 1036755.
  3. ^ Bernstein, Sergei N. (1937). На определенных модификациях неравенства Чебишева [On certain modifications of Chebyshev's inequality]. Doklady Akademii Nauk SSSR (俄語). 17 (6): 275–277. (vol. 4, item 22 in the collected works)
  4. ^ Hoeffding, W. (1963). "Probability inequalities for sums of bounded random variables". Journal of the American Statistical Association. 58 (301): 13–30. doi:10.2307/2282952. JSTOR 2282952. MR 0144363.