天使問題
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天使問題是由英國數學家約翰·何頓·康威提出的一個博弈論問題[1]，在2006年已獲解答。
陳述
[編輯]天使問題是關於一個叫天使與惡魔的雙人遊戲，其規則如下：
- 兩名玩家分別扮演天使和惡魔
- 遊戲開始前，指定一個正整數 K，稱之為天使的力量
- 遊戲在一個無限大的方格棋盤上進行；開始時棋盤是空的，天使停留在棋盤上的某一個方格（稱為天使的起始點），惡魔並不存在於棋盤上
- 每一輪中，惡魔可以在棋盤上放置一個路障，路障不可以放置在天使停留處
- 每一輪中，天使可以向相鄰格移動至多 K 步，移動過程中可以穿過路障，但移動終點必須停留在沒有路障的格中；縱橫斜格均算作相鄰格
- 從惡魔開始，雙方交替進行（若從天使開始，從上面的規則描述，亦可等價轉換為從惡魔開始的局面）
- 若在一輪中，天使無法移動，則惡魔獲勝
- 如果天使能夠無限地繼續遊戲，則天使獲勝
天使問題可以陳述為：
| 是否存在某個K，使得力量為K的天使擁有必勝策略？ |
已知的證明
[編輯]二維
[編輯]- K = 1 時，惡魔有必勝策略（康威, 1982）
- 如果天使不可以降低其 y 坐標，則惡魔有必勝策略（康威, 1982）
- 如果天使一直增加它到起始點的距離，則惡魔有必勝策略（康威, 1996）
在2006年，有4位數學家獨立解決了天使問題。英國數學家布萊恩·鮑迪奇（Brian Bowditch） 證明了K = 4的時候，天使有必勝策略。[2] 挪威數學家Oddvar Kloster 和 András Máthé 各自證明了K = 2的時候，天使有必勝策略。[3][4]Péter Gács 則是證明了當 K 充分大時，天使有必勝策略。[5]
參考來源
[編輯]- ^ John H. Conway, The angel problem （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）, in: Richard Nowakowski (editor) Games of No Chance, volume 29 of MSRI Publications, pages 3–12, 1996.
- ^ Brian H. Bowditch. The angel game in the plane (PDF). [2014-06-16]. （原始內容存檔 (PDF)於2016-03-04） （英語）.
- ^ O. Kloster. A Solution to the Angel Problem (PDF). [2014-06-16]. （原始內容 (PDF)存檔於2016-01-07） （英語）.
- ^ András Máthé. The Angel of power 2 wins (PDF). [2014-06-16]. （原始內容存檔 (PDF)於2016-10-13） （英語）.
- ^ Péter Gács. THE ANGEL WINS (PDF). [2014-06-16]. （原始內容存檔 (PDF)於2016-03-04） （英語）.