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天使问题

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图中棋盘区域中央为天使,当天使力量为 3 时,其当前可移动区域被蓝色点画线围起

天使问题是由英国数学家约翰·何顿·康威提出的一个博弈论问题[1],在2006年已获解答。

陈述

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天使问题是关于一个叫天使与恶魔的双人游戏,其规则如下:

  1. 两名玩家分别扮演天使和恶魔
  2. 游戏开始前,指定一个正整数 K,称之为天使的力量
  3. 游戏在一个无限大的方格棋盘上进行;开始时棋盘是空的,天使停留在棋盘上的某一个方格(称为天使的起始点),恶魔并不存在于棋盘上
  4. 每一轮中,恶魔可以在棋盘上放置一个路障,路障不可以放置在天使停留处
  5. 每一轮中,天使可以向相邻格移动至多 K 步,移动过程中可以穿过路障,但移动终点必须停留在没有路障的格中;纵横斜格均算作相邻格
  6. 从恶魔开始,双方交替进行(若从天使开始,从上面的规则描述,亦可等价转换为从恶魔开始的局面)
  7. 若在一轮中,天使无法移动,则恶魔获胜
  8. 如果天使能够无限地继续游戏,则天使获胜

天使问题可以陈述为:

是否存在某个K,使得力量为K的天使拥有必胜策略

已知的证明

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二维

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  • K = 1 时,恶魔有必胜策略(康威, 1982)
  • 如果天使不可以降低其 y 坐标,则恶魔有必胜策略(康威, 1982)
  • 如果天使一直增加它到起始点的距离,则恶魔有必胜策略(康威, 1996)

在2006年,有4位数学家独立解决了天使问题。英国数学家布莱恩·鲍迪奇(Brian Bowditch) 证明了K = 4的时候,天使有必胜策略。[2] 挪威数学家Oddvar Kloster 和 András Máthé 各自证明了K = 2的时候,天使有必胜策略。[3][4]Péter Gács 则是证明了当 K 充分大时,天使有必胜策略。[5]

参考来源

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  1. ^ John H. Conway, The angel problem页面存档备份,存于互联网档案馆, in: Richard Nowakowski (editor) Games of No Chance, volume 29 of MSRI Publications, pages 3–12, 1996.
  2. ^ Brian H. Bowditch. The angel game in the plane (PDF). [2014-06-16]. (原始内容存档 (PDF)于2016-03-04) (英语). 
  3. ^ O. Kloster. A Solution to the Angel Problem (PDF). [2014-06-16]. (原始内容 (PDF)存档于2016-01-07) (英语). 
  4. ^ András Máthé. The Angel of power 2 wins (PDF). [2014-06-16]. (原始内容存档 (PDF)于2016-10-13) (英语). 
  5. ^ Péter Gács. THE ANGEL WINS (PDF). [2014-06-16]. (原始内容存档 (PDF)于2016-03-04) (英语). 

外部链接

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