奇異函數(英語:singularity function)是一類含有奇異點的不連續函數(在奇異點不連續),其在數學領域裏的名稱為廣義函數或分佈。[1][2][3]這些函數以角括號標記,形如
,其中n為整數。而「
」則被稱為奇異括號。奇異函數的定義為:
n
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-2
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-1
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0
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1
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2
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其中,
表示狄拉克δ函數,即單位脈衝。
的一次導數則被稱為單位偶。
為單位階躍函數:x<0 時 H(x)=0,而 x>0 時 H(x)=1。H(0)的值則按具體的約定而定。需要注意的是只有n=0時H(0)的值才有影響。
則稱為斜坡函數。
對
的積分可按下式計算(x=a時積分結果取為0):
![{\displaystyle \int \langle x-a\rangle ^{n}dx={\begin{cases}\langle x-a\rangle ^{n+1},&n\leq 0\\{\frac {\langle x-a\rangle ^{n+1}}{n+1}},&n\geq 0\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3fa3b94499408fb73b5e7c17479b5aa4345c2d5e)
- ^ Zemanian, A. H., Distribution Theory and Transform Analysis, McGraw-Hill Book Company, 1965
- ^ Hoskins, R. F., Generalised Functions, Halsted Press, 1979
- ^ Lighthill, M.J., Fourier Analysis and Generalized Functions, Cambridge University Press, 1958