奇异函数(英语:singularity function)是一类含有奇异点的不连续函数(在奇异点不连续),其在数学领域里的名称为广义函数或分布。[1][2][3]这些函数以角括号标记,形如
,其中n为整数。而“
”则被称为奇异括号。奇异函数的定义为:
n
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-2
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-1
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0
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1
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2
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其中,
表示狄拉克δ函数,即单位脉冲。
的一次导数则被称为单位偶。
为单位阶跃函数:x<0 时 H(x)=0,而 x>0 时 H(x)=1。H(0)的值则按具体的约定而定。需要注意的是只有n=0时H(0)的值才有影响。
则称为斜坡函数。
对
的积分可按下式计算(x=a时积分结果取为0):
![{\displaystyle \int \langle x-a\rangle ^{n}dx={\begin{cases}\langle x-a\rangle ^{n+1},&n\leq 0\\{\frac {\langle x-a\rangle ^{n+1}}{n+1}},&n\geq 0\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3fa3b94499408fb73b5e7c17479b5aa4345c2d5e)
- ^ Zemanian, A. H., Distribution Theory and Transform Analysis, McGraw-Hill Book Company, 1965
- ^ Hoskins, R. F., Generalised Functions, Halsted Press, 1979
- ^ Lighthill, M.J., Fourier Analysis and Generalized Functions, Cambridge University Press, 1958