斯托克斯流函數

繞球體的軸對稱斯托克斯流動的流線

斯托克斯流函數（英語：Stokes stream function）在流體力學中用於描述軸對稱的三維不可壓縮流體的流線與流速。斯托克斯流函數的等值面形成流管，其上的每一點都與速度向量相切。此外，流管內的體積流量為定值，所有流線也皆位於流管表面上。斯托克斯流函數對應的速度場為螺線向量場（散度為零）。該流函數因紀念著名流體力學家喬治·斯托克斯得名。

圓柱坐標

圓柱坐標系示意圖

在圓柱坐標系 ( ρ , φ , z ) 中，假設不可壓縮流關於 z 軸呈軸對稱。則流體的徑向速度 u_ρ 與軸向速度 u_z 與可以通過斯托克斯流函數$\Psi$得到：

${\begin{aligned}u_{\rho }&=-{\frac {1}{\rho }}\,{\frac {\partial \Psi }{\partial z}},\\u_{z}&=+{\frac {1}{\rho }}\,{\frac {\partial \Psi }{\partial \rho }}.\end{aligned}}$

周向速度u_φ 則與流函數無關。通過斯托克斯流函數等值面（ψ為定值）的體積流量為 2π ψ。

球坐標

球坐標系示意圖

在球坐標系 ( r , θ , φ )中，以 θ = 0 為不可壓縮流的對稱軸。於是速度在 θ 與 r方向上的分量為：

${\begin{aligned}u_{r}&=+{\frac {1}{r^{2}\,\sin(\theta )}}\,{\frac {\partial \Psi }{\partial \theta }},\\u_{\theta }&=-{\frac {1}{r\,\sin(\theta )}}\,{\frac {\partial \Psi }{\partial r}}.\end{aligned}}$

與圓柱坐標系下的情形相同，u_φ 並非流函數的函數。通過流函數等值面的體積流量也與之前相同，為 2π ψ。

參考文獻

• Batchelor, G.K. An Introduction to Fluid Dynamics. Cambridge University Press. 1967. ISBN 0-521-66396-2. 
• Lamb, H. Hydrodynamics 6th. Cambridge University Press. 1994. ISBN 978-0-521-45868-9.  Originally published in 1879, the 6th extended edition appeared first in 1932.
• Stokes, G.G. On the steady motion of incompressible fluids. Transactions of the Cambridge Philosophical Society. 1842, 7: 439–453. Bibcode:1848TCaPS...7..439S. 
  Reprinted in: Stokes, G.G. Mathematical and Physical Papers, Volume I. Cambridge University Press. 1880: 1–16.