災難性抵消

在數值分析中，災難性抵消（英語：catastrophic cancellation）是指兩個大小相近的數值的近似值相減，得到的差值可能和原始數值相減得到的真實的差值有很大差異，因而近似值的差值不能用作真實值差值的近似值。

例如，如果有兩個螺柱，一個長$L_{1}=254.5\,{\text{cm}}$，另一個長$L_{2}=253.5\,{\text{cm}}$，用厘米刻度的尺子測量其長度，得到的近似值為${\tilde {L}}_{1}=255\,{\text{cm}}$和${\tilde {L}}_{2}=253\,{\text{cm}}$。在相對誤差方面，它們是真實長度的良好的近似值：近似值的誤差小於真實長度的2%，即$|L_{1}-{\tilde {L}}_{1}|/|L_{1}|<2\%$ 。

但是，如果用這些近似長度相減，則差值為${\tilde {L}}_{1}-{\tilde {L}}_{2}=255\,{\text{cm}}-253\,{\text{cm}}=2\,{\text{cm}}$，而長度之間的真實差值是$L_{1}-L_{2}=254.5\,{\text{cm}}-253.5\,{\text{cm}}=1\,{\text{cm}}$。用近似值算出的差$2\,{\text{cm}}$，和用真實值算出的差$1\,{\text{cm}}$相比，偏離了100%。

即使差值計算本身是精確的，災難性抵消仍然有可能發生，如上例所示——它不是哪種類型的運算（如浮點運算）的屬性；當輸入值本身是近似值時，進行減法運算就必有災難性抵消。實際上，根據Sterbenz引理，浮點運算中，當輸入值足夠接近時，浮點差可以精確計算——浮點減法運算本身並未引入捨入誤差。

形式分析

形式上，發生災難性抵消是因為減法運算對鄰近數值的輸入是病態的：即使近似值${\tilde {x}}=x(1+\delta _{x})$和${\tilde {y}}=y(1+\delta _{y})$與真實值$x$和$y$ 相比，相對誤差$|\delta _{x}|=|x-{\tilde {x}}|/|x|$和$|\delta _{y}|=|y-{\tilde {y}}|/|y|$不大，近似值差${\tilde {x}}-{\tilde {y}}$的與真實值差相對誤差也會與真實值差$x-y$成反比：

${\begin{aligned}{\tilde {x}}-{\tilde {y}}&=x(1+\delta _{x})-y(1+\delta _{y})=x-y+x\delta _{x}-y\delta _{y}\\&=x-y+(x-y){\frac {x\delta _{x}-y\delta _{y}}{x-y}}\\&=(x-y){\biggr (}1+{\frac {x\delta _{x}-y\delta _{y}}{x-y}}{\biggr )}\end{aligned}}$

因此，兩個近似值的精確差值${\tilde {x}}-{\tilde {y}}$與真實數字差值$x-y$的相對誤差為：

$\left|{\frac {x\delta _{x}-y\delta _{y}}{x-y}}\right|$

如果真實輸入$x$和$y$很接近，結果可能會非常大。