黎曼-斯蒂爾傑斯積分

黎曼－斯蒂爾傑斯積分（英語：Riemann-Stieltjes integral）是數學中的一種「積分」概念，是對黎曼積分的推廣。

黎曼－斯蒂爾傑斯積分有數種定義方式，但不是每種定義方式都是彼此等價的。

定義

和黎曼積分一樣，黎曼－斯蒂爾傑斯積分的定義依賴對區間分割的定義。

區間的分割

一個閉區間$[a,b]$的一個分割P是指在此區間中取一個有限的點列$a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\ldots <x_{n}=b$。每個閉區間$[x_{i},x_{i+1}]$叫做一個子區間。這些子區間長度的最大值 $\lambda$ 為：$\lambda :=\max\{\,x_{i+1}-x_{i}\mid 0\leq i\leq n-1\,\}$。

定義取樣分割。一個閉區間 $[a,b]$ 的一個取樣分割是指分割 $P=\{a=x_{0}<x_{1}<\cdots <x_{n}=b\}$ 再加上一組有限點，$\{a\leq t_{0}\leq t_{1}\leq ,\cdots ,\leq t_{n-1}\leq b\}$，其中 $t_{i}\in [x_{i},x_{i+1}]$ 對所有 $0\leq i\leq n-1$。

精細化分割：設$x_{0},\ldots ,x_{n}$以及$t_{0},\ldots ,t_{n-1}$構成了閉區間$[a,b]$的一個取樣分割，$y_{0},\ldots ,y_{m}$和$s_{0},\ldots ,s_{m-1}$是另一個分割。如果對於任意$0\leq i\leq n$，都存在$r(i)$使得$x_{i}=y_{r(i)}$，並存在$r(i)\leq j\leq r(i+1)$使得$t_{i}=s_{j}$，那麼就把分割：$y_{0},\ldots ,y_{m}$、$s_{0},\ldots ,s_{m-1}$稱作分割$x_{0},\ldots ,x_{n}$、$t_{0},\ldots ,t_{n-1}$的一個精細化分割。簡單來說，就是說分割$y_{0},\ldots ,y_{m}$、$s_{0},\ldots ,s_{m-1}$是在分割$x_{0},\ldots ,x_{n}$、$t_{0},\ldots ,t_{n-1}$的基礎上添加一些分點和標記。(即是說「設$P=\{a=x_{0},x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n-1},x_{n}=b\}$是閉區間$[a,b]$的一個分割，若分割$P'$是分割$P$的一個精細化分割，則$P\subseteq P'$，也就是說，分割$P$是分割$P'$的子集」)

於是我們可以在此區間的所有取樣分割中定義一個偏序關係，稱作「精細」。如果一個分割是另外一個分割的精細化分割，就說前者比後者更「精細」。

黎曼－斯蒂爾傑斯和

對一個在閉區間$[a,b]$有定義的實值函數 $f$，其對於函數 $g$ 關於分割

$P=\{a=x_{0}<x_{1}<\cdots <x_{n}=b\}$

的黎曼－斯蒂爾傑斯和，規定為下式：

$S(P,f,g)=\sum _{i=0}^{n-1}f(c_{i})\cdot \left(g(x_{i+1})-g(x_{i})\right)$

和式中的 $c_{i}\in [x_{i},x_{i+1}],\,0\leq i\leq n-1$。

黎曼－斯蒂爾傑斯積分

當注意的是。這兩個定義在黎曼－斯蒂爾傑斯積分的情況下，並不完全等價，以第一種定義可推出其存在的積分，必能以第二種定義推出其存在，但以第二種定義方式可推出其存在的積分不一定能以第一種定義的方式來計算。

第一種定義

$A\in \mathbb {R}$ 是函數 $f$ 在閉區間 $[a,b]$ 上對函數 $g$ 的黎曼－斯蒂爾傑斯積分的值，當且僅當對任意的 $\epsilon >0$，存在 $\delta >0$，使得對任意的分割 $\scriptstyle P=\{a=x_{0}<x_{1}<\cdots <x_{n}=b\}$，只要這分割的子區間最大長度滿足 $\lambda \leq \delta$ 且對任意的 $\scriptstyle c_{i}\in [x_{i+1},x_{i}],\;0\leq i\leq n-1$，有：

$\left|S(P,f,g)-A\right|<\epsilon .\,$

第二種定義

$A\in \mathbb {R}$ 是函數 $f$ 在閉區間 $[a,b]$ 上對函數 $g$ 的黎曼－斯蒂爾傑斯積分的值，當且僅當對於任意的 $\epsilon >0$，存在分割 $P_{\epsilon }$，使得對任何比 $P_{\epsilon }$ 還要「精細」的分割 $\scriptstyle P=\{a=x_{0}<x_{1}<\cdots <x_{n}=b\}$ 跟任意選取的 $\scriptstyle c_{i}\in [x_{i+1},x_{i}],\;0\leq i\leq n-1$，都有：

$\left|S(P,f,g)-A\right|<\epsilon .\,$

若一個函數$f$在閉區間$[a,b]$上對函數$g$的黎曼－斯蒂爾傑斯積分存在，且值為$A$，則可寫作$A=\int _{a}^{b}f(x)\,dg(x).$

與黎曼積分間的關聯

若$\,g(x)=x\,$時，$\,f\,$在閉區間$\,[a,b]\,$上對函數$\,g\,$的黎曼－斯蒂爾傑斯積分

$\int _{a}^{b}f(x)\,dg(x)$

即為$f$在閉區間$[a,b]$上的黎曼積分

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx$，

故從黎曼－斯蒂爾傑斯積分可引出黎曼積分。

若$\,g(x)\,$可微且其對$\,x\,$微分後的函數$\,g'(x)\,$在閉區間$\,[a,b]\,$連續，則$\,f\,$在閉區間$\,[a,b]\,$上對函數$\,g\,$的黎曼－斯蒂爾傑斯積分

$\int _{a}^{b}f(x)\,dg(x)$

與黎曼積分

$\int _{a}^{b}f(x)g'(x)\,dx$

相等。

參見

• 黎曼積分
• 有界變差

參考文獻

• Mathematical Analysis second edition, Tom M. Apostol, Pearson Education Taiwan Ltd.
• Rudin, Walter, Principles of mathematical analysis Second, New York: McGraw-Hill, 1964 .