維基百科:維基百科惡作劇列表/羅素公理體系
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不加定義的概念
[編輯]在類的公理體系中,有一些基本的概念是不加定義的,我們只能從其客觀含義上給予解釋,但這樣的解釋僅僅起到幫助理解這些概念。
數學中研究的任何一個客體對象都稱為一個類。類的概念是沒有任何限制。類與類之間可能存在着一種稱為屬於的關係,類A屬於類B記為,此時也稱類A是類B的一個元素(簡稱為元)。我們可以把類理解成為是由若干元素組成的一個整體。一個類是否是另一個類的元素是完全確定的,這就是類元素的確定性。類A如果不是類B的元素,則稱A不屬於B,記為。
另一個不加定義的概念就是:類總是具有一定的性質,我們常以P(x)表示類x具有性質P。我們可以把性質理解為「關於類的一句表述」。
我們還認為邏輯學中的基本概念與基本知識是類理論的基礎。
類的外延公理
[編輯]公理Ⅰ(外延公理) 。
公理Ⅰ的含義是:兩個類「相等」的充要條件是它們的元素完全相同,這就是說,類完全由其元素確定。類的所有元素可以通俗地稱為它的外延,正因如此,公理Ⅰ被稱為外延公理。由此我們可以定義:
定義1.1兩個類A、B,如果它們的元素完全相同,則稱這兩個類是相等的,記為。
因此,類完全由其外延確定。
由外延公理我們可以得出:類中的元素是不會重複出現的(準確地說,重複出現的元素仍然被當作一個元素),這就是類元素的互異性;類中的元素是不計其出現在類中的順序的,這就是類元素的無序性。
一個類可能由若干元素組成,而它本身又可能成為另外的類的元素,這就是類元素的相對性。
類的內涵與羅素悖論
[編輯]一般地說,類中的元素總是具有某種共同的性質的,這就是類的元素的同質性。
一個類的所有元素所共同具有的、而且是這個類的元素所獨有的性質(也就是說不是該類的元素就不具有該性質)通俗地稱為該類的內涵。類的內涵與外延之間存在着直觀的「反比關係」:類的內涵越多,其外延越小;內涵越少,其外延越大。
對於類的內涵問題,我們通常希望:任給一個性質,滿足該性質的所有類可以組成一個類。但這樣的企圖將導致如下的悖論:
羅素悖論設性質P(x)表示「」,現假設由性質P確定了一個類A----也就是說「」。那麼現在的問題是:是否成立?首先,若,則A是A的元素,那麼A具有性質P,由性質P知;其次,若,也就是說A具有性質P,而A是由所有具有性質P的元素組成的,所以。
羅素悖論還有一些更為通俗的描述,如理髮師悖論:
理髮師悖論某理髮師發誓「要給所有不自己理髮的人理髮,不給所有自己理髮的人理髮」,現在的問題是「誰為該理髮師理髮?」。首先,若理髮師給自己理髮,那他就是一個「自己理髮的人」,依其誓言「他不給自己理髮」;其次,若「他不給自己理髮」,依其誓言,他就必須「給自己理髮」。
真類與集合
[編輯]為解決此類悖論,我們把類區分為兩種:
定義1.2如果存在類B,而類A滿足條件「」,則稱類A為一個集合(簡稱為集),記為。
定義1.2說明,一個集合是類的一種,它可以成為其它類的一個元素,這也正是集合的"嚴格"定義。
有另一種集合的定義:已存在一個類B,其中凡是符合屬性P(x)的,可以構成一個類A。類A則是一個集合,或者說是B的一個子類。但對此種定義,人們可以提出質疑,不能保證A不是真類。但人們還是樂於接受該定義的。但定義說不上嚴格。
集合能進行各種類運算。
真類不是集合的類就是真類。真類是一種能以自身作為元素的類,對於真類,類運算並不一定都能進行。
一個真類卻不能成為其它類的元素。因此我們可以理解為「本性類是最高層次的類」。
羅素悖論等於用反證法證明了真類的存在。但真類是抽象難理解的。
但是,「類和集合是非常一般的概念,什麼是集合的問題是不能徹底回答的。只有隨着數學實踐來確定哪些類是集合,哪些類是真類,任何時間,總有一些類無法確定其到底是不是集合。」
類的內涵公理
[編輯]公理Ⅱ(內涵公理)設P是一個性質,則。
公理Ⅱ的含義是:滿足一定性質的所有集合可以組成一個類。
內涵公理能夠解決羅素悖論:令P(x)為「」(稱為羅素性質)。我們無法確定所有滿足P的類能否構成一個類,但是依據內涵公理,我們可以確定滿足P的所有集合能夠構成一個類(這就證明了下面的性質1.1)。這時,可以得出「」,即「」。這並不導致悖論,只是說明:A不是集合;因此A是本性類,我們把這個類稱為羅素類。
對於內涵公理,任給一個對所有集合都滿足的性質P,如,則有:
性質1.1所有的集合構成一個真類。
我們把所有集合構成的類稱為極限類(真類),它是類理論所承認的「最大的」類。
由公理Ⅰ(外延公理)、公理Ⅱ(內涵公理)組成的公理體系我們稱為羅素公理體系,這是關於類的理論的最基本的公理體系。
羅素悖論產生的原因,是把真類當成集合。
可以說,羅素公理體系在兩方面避免羅素悖論:第一,不存在包含自身的集合(包含自身的類是真類)。第二,「所有」集合的總體不是集合!而是一個真類。因為「所有」一詞,包含了自身。
以書目悖論為例,根據羅素公理體系,所有符合條件的書的確構成了一個集合,因為它們可以與其它的書進一步構成更大的整體(集合的定義)--比如它們和不符合條件的書共同構成了圖書館裏所有的書(類)。問題「這本書要記下自己的書名嗎?」,即是,它包含自己嗎?已經沒有回答的意義。因為根據內涵定義,不存在包含真類的集合。所以實物上不存在裏面提到的那一本目錄書(也有人認為那是一個非法的集合,一個集合要包含自身,但又要和集合內其它元素相區別,是不可能的)。但注意,這一抽象概念卻是存在的,它是一個真類。
在理髮師悖論里,理髮師其實劃出了一個真類。如果理髮師修改一下自己的說法:「除了我理髮師本人之外,我給所有不給自己理髮的人理髮」,悖論就被避免了。因為理髮師此時定義了一個集合(根據聲明,他不在自己定義的服務群里)。
注意:羅素公理體系只是「避免」了羅素悖論,並沒有解決羅素悖論。羅素公理體系的提出,是保證不產生悖論,又要求這些公理的範圍足夠寬,能容納全部數學。就是說要給數學提供足夠的集合。