信號處理領域中,梳狀濾波器(英語:Comb filter,又稱梳形濾波器)使一個信號與它的延時信號疊加,從而產生相位抵消。梳狀濾波器的頻率響應由一系列規律分佈的峰組成,看上去與梳子類似。
離散時間系統中的梳狀濾波器滿足下式:
![{\displaystyle y[n]=ax[n]+bx[n-\tau ]+cy[n-\tau ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00b716e6ca7f74729befed6c7a39f873ded34337)
其中τ 是一個表示延時的常量。梳狀濾波器也可以在連續時間系統上實現。它的頻率響應為:
![{\displaystyle H(\omega )={\frac {a+be^{-i\omega \tau }}{1-ce^{-i\omega \tau }}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef06c11c6efce5d4245970b675bf12c02859f51b)
頻譜中的梳狀峰值是因為系統周期的不連續性(極點),極點的位置滿足:
![{\displaystyle \cos(\omega \tau )={\frac {1+c^{2}}{2c}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e403433c0c04f09e14e560d9fee2eefc29031a6)
NTSC制式的電視信號解碼器中以硬件(偶爾也有軟件)實現了二維和三維梳狀濾波器,以減輕雜色訊等效應。梳狀濾波器也被應用在地面無線通信系統中。梳狀濾波器可以產生回聲效應,若將延時設置為幾個毫秒,則將此濾波器加在音頻信號上,就可以作為圓柱形諧振腔的模型。因為這種諧振腔能夠放大與它寬度相關的駐波對應的頻率分量。
梳狀濾波器是一個線性時不變系統,因此指數函數是這一系統的特徵函數。所以當輸入信號x(n) 為指數函數的形式時
![{\displaystyle x(n)=e^{i\omega n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6640670680a6ecf70a45739c45221a641bc2055e)
輸出信號y(n) 的形式為:
![{\displaystyle y(n)=H(\omega )e^{i\omega n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36dfe6a660311dbdbdd76897113b5296d41ed347)
代入上文中梳狀濾波器頻響滿足的條件式,可得:
![{\displaystyle H(\omega )e^{i\omega n}=ae^{i\omega n}+be^{i\omega (n-\tau )}+cH(\omega )e^{i\omega (n-\tau )}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5dcbf8bfabd37c520463c220de46bc5dd10aea0b)
![{\displaystyle H(\omega )e^{i\omega n}=ae^{i\omega n}+be^{-i\omega \tau }e^{i\omega n}+cH(\omega )e^{-i\omega \tau }e^{i\omega n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08debfd55de60b94acd32b3d8f72c401bba2bb6b)
由於指數函數非零,因此有:
![{\displaystyle H(\omega )=a+be^{-i\omega \tau }+cH(\omega )e^{-i\omega \tau }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e56dabce2075e436a89b34e1e74c2b586a5474b)
解出
可得:
![{\displaystyle H(\omega )={\frac {a+be^{-i\omega \tau }}{1-ce^{-i\omega \tau }}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef06c11c6efce5d4245970b675bf12c02859f51b)