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伪球面

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伪球面(英语:pseudosphere,又译拟球面)是几何学高斯曲率恒为负的平面。一半径的伪球面,是中每点高斯曲率均为的平面。伪球面这个名称是类比半径的球面(曲率的平面),由贝尔特拉米于1868年双曲几何模型的论文提出。[1][2][3] 其为曳物线绕其渐近线的旋转曲面

旋转跟踪曲面(Tractricoid

定义

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对于平面上的曳物线,其参数方程.

当其绕z轴旋转一圈时,根据旋转曲面的一般参数方程[4],可得到曲面标准参数方程:

其中 .

该方程即为曳物面方程,又称伪球面方程。

性质

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伪球面是一个奇异空间 (赤道上的点为奇点) 。但在奇点外,它具有恒定的负高斯曲率,因此局部等距于双曲面

“伪球”这个名字的产生是因为它是一个有恒定负高斯曲率的二维曲面,和一个球有恒定正高斯曲率恰恰相反。就像球体在每一点上都有一个正曲率的球面几何一样,伪球在除奇点每一点上都有一个负曲率的双曲几何

早在1693年,惠更斯(Christiaan Huygens)就发现尽管其旋转后的范围是无限的, 但伪球的体积和表面积是有限的。对于给定的伪半径 R,伪球的表面积是,和同半径·球面相同。

参考资料

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  1. ^ Beltrami, Eugenio. Saggio sulla interpretazione della geometria non euclidea [Treatise on the interpretation of non-Euclidean geometry]. Gior. Mat. 1868, 6: 248–312 (意大利语). 
  2. ^ Beltrami, Eugenio. Opere Matematiche [Mathematical Works] 1. : 374–405. ISBN 1-4181-8434-9 (意大利语). 
  3. ^ Beltrami, Eugenio. Essai d'interprétation de la géométrie noneuclidéenne [Treatise on the interpretation of non-Euclidean geometry]. Annales de l'École Normale Supérieure. 1869, 6: 251–288 [2018-08-08]. (原始内容存档于2016-02-02) (法语). 
  4. ^ 梅, 向明. 微分几何 第四版. 高等教育出版社. 2008. ISBN 9787040235722.