哈尔函数的离散小波转换

离散小波转换的技术有很多种，哈尔(Haar)函数的离散小波转换是为较简单的方法。

将影像的所有像素分别视为各自独立的数值，对这些数值做相加、相减的运算，即为相邻像素的值相加，该值会越来越大，也就是蕴藏着重要的资讯，并将每一个相邻像素的加总值存放在低频频带；而相邻像素的值相减，在图平滑的部分，相邻像素的值差异不大，所以相减之后的值并无太大的变化，如果是物面交界边缘的部分，相邻像素相减之后差异很大，而这些相邻像素相减的值会存放在高频频带。

哈尔函数的离散小波转换方法步骤

哈尔函数离散小波转换主要可以分成两个步骤，一为水平分割，另一为垂直分割。

水平分割

沿着水平方向由左至右取出影像的相邻两像素做相加、相减，分别存放在低频频带(L)与高频频带(H)。

下图表示著4*4的影像，图中 A～P 代表该图各部分的像素值，而在第一个步骤里面，先由左至右取出水平方向相邻的 A 及 B ，将两者分别作相加（A＋B）及相减（A－B）运算，再将结果分别存入低频频带(L)及高频频带(H)。接着取出C、D相加为（C＋D）以及相减为（C－D），同样的将结果，分别存入低频频带(L)及高频频带(H)。第一列做完后，再至第二列进行同样的动作直到整张影像完成为止。

垂直分割

将水平分割所产生的结果，沿着垂直方向由上至下的方式取出相邻像素做相加相减，分别存放在低频频带(L)与高频频带(H)。

如下图所示，在水平低频中，垂直方向由上至下取出相邻像素的值分别为（A＋B）、（E＋F）做相加（A＋B）+（E＋F）与相减（A＋B）-（E＋F）结果分别放在水平低频(L)垂直低频(L)以LL表示及水平低频(L)垂直高频(H)以LH表示；再取出（I＋J）、（M＋N）做相同动作，将结果分别放在水平低频(L)垂直低频(L)以LL表示及水平低频(L)垂直高频(H)以LH表示。第一行完成后，继续下一行进行同样动作，直到整张影像完成为止。

左上角做了两次相加动作的部分，即能量最为集中的部分称为 LL ，人类视觉对此部分最为灵敏。
右上角相减后再相加部分分称为 HL ，代表此影像之水平细节。
左下角先加后减部分称为 LH ，表示此影像之垂直细节。
右下角作两次相减部分称为 HH ，代表此影像的对角细节。

应用

图片Fig.1完成了水平切割与垂直切割两个步骤之后，所产生出来的LL、HL、LH、HH四个频带，为一阶Haar函数转换的结果Fig.2，在四个频带之中最重要的频带为LL，它大小为原图的四分之一，保留原始影像的特性，针对LL频带再做一次Haar函数转换，称为二阶Haar函数转换，如此一来会从LL频带又得到四个频带，分别为LL2、HL2、LH2、HH2，其中最重要的频带依然是低频的LL2，同样的LL2也保留了原始影像的特性而图片的大小是原始影像十六分之一，可扩展成三阶Fig.3、四阶…n阶Haar函数转换。

参考

• Jian-Jiun Ding, Time frequency analysis and wavelet transform class note,the Department of Electrical Engineering, National Taiwan University (NTU), Taipei, Taiwan, 2009
• R. C. Gonzales and R. E. Woods, Digital Image Processing. Reading, MA, Addison-Wesley, 1992.
• Gargour, C.; Gabrea, M.; Ramachandran, V.; Lina, J.-M., "A short introduction to wavelets and their applications," Circuits and Systems Magazine, IEEE , vol.9, no.2, pp.57-68, Second Quarter 2009
• Antonini, M.; Barlaud, M.; Mathieu, P.; Daubechies, I., "Image coding using wavelet transform," Image Processing, IEEE Transactions on , vol.1, no.2, pp.205-220, Apr 1992