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等效位能

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等效位能是将许多效应综合成单一位能的数学表达式。在古典力学中,等效位能即为离心力位能与位能的和。等效位能常被用来计算行星的轨道及半古典的原子计算,可用来降低问题的维度。

定义

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等效位能 可定义如下:

L角动量
r 为两物体之距离。
m 为绕行物体之质量。
U(r) 为位能。

等效力,也就是等效位能的梯度取负号则为:

其中 为r方向的单位向量。

特性

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等效位能有许多有用的特性:

要找到一个圆形轨道的半径,我们只要将等效位能对r取最小值,或是找使总力为0:

在解出后,代回以求等效位能之最大值

也可求得微小振荡之频率:

其中角分符号代表对r的微分。

例子:重力位能

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以质量为m的小天体绕行质量为M的大天体为例,并假设M远大于m。在牛顿力学中,大天体的运动可被忽略,且能量E及角动量L守恒:

其中

为r对时间的微分,
为小天体之角速度
G 为重力常数。

因为整个运动发生在一平面,所以我们只需要两个变数r及。将第二个式子代回第一个式子,整理之后可得

其中

即为等效位能。[Note 1] 如同上式所述,原问题的两个变数被化简成单变数的问题。在许多应用中,等效位能可视为一维系统的位能,譬如说用等效位能来决定转折点及稳定平衡区。类似的方法可用来决定广义相对论史瓦西度规的轨道。


注释

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  1. ^ A similar derivation may be found in José & Saletan, Classical Dynamics: A Contemporary Approach, pgs. 31–33

参考资料

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