反距离加权
反距离加权(英语:inverse distance weighting,IDW)是一种在有已知的离散数据点的情形下进行多元插值的确定性算法。赋给未知点的值是用已知点的值的加权平均数计算得出的。该算法也可在空间自相关分析(例如莫兰指数)中用于构建空间权重矩阵。[1]
该方法的名称来自其加权的方式:未知点到每个已知点的距离的倒数。
问题的定义
[编辑]对于给定的离散数据点,我们希望以一个函数对研究区域进行插值:
其中是研究区域。
个已知数据点可以视为元组列表:
该函数应当是“平滑的”(连续且一次可微),确定的(),并满足用户对研究的现象的直观预期。此外,该功能应能够以合理成本在电脑应用上实现(如今,基本实现方法中可能会用到并行计算)。
谢泼德法(Shepard's method)
[编辑]历史参考
[编辑]自1965年起,在哈佛计算机图形和空间分析实验室,各专业的科学家汇聚一堂,重新思考现在称作“地理信息系统”的各种问题。[2]
实验室工作的推动者霍华德·费舍尔(Howard Fisher)构思了一种改良的计算机绘图程序:SYMAP,其设计伊始,费舍尔就希望对插值进行改进。他向哈佛大学新生展示了SYMAP的进展,而后许多新生参与了实验室活动。一位大一新生唐纳德·谢泼德(Donald Shepard)决定对SYMAP中的插值法进行大改,随后发表了他1968年的著名论文。[3]
谢泼德的算法也受到William Warntz和实验室其他从事空间分析工作的人的理论方法的影响。他用距离的指数进行了许多实验,决定更接近重力模型(-2的指数)。谢泼德不仅实现了基本的反距离加权,还允许障碍(包括可渗透的和绝对的)插值。
其他研究机构此时也在研究插值,特别是堪萨斯大学及其SURFACE II计划。但SYMAP的功能仍是最先进的,尽管是由本科生编写的。
基本形式
[编辑]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/71/Shepard_interpolation_2.png)
给定一组样本点,反距离加权插值函数定义为:
其中
这是一个简单的反距离加权函数,其定义由谢泼德提出,[3]x表示一个被插值点(未知点),xi表示一个节点(已知点),是从已知点xi到未知点x的给定距离(度规算符),N是插值中使用的已知点的总数,并且是一个正实数,称为幂参数。
其中,权重随着与已知点的距离的增加而减小。值越大,则最邻近已知点的对插值的影响越大,当足够大时,插值结果形似马赛克多边形(沃罗诺伊图),每一个多边形内的数值几乎为恒定值。对于二维面,幂参数时,插值由距离较远的点主导,因为密度为、邻近节点距离为至之间的数据点集,权重的加和约为
其在且时发散。对于M维,同样的结论适用于。对于值的选择,可以考虑插值中所需的平滑程度、被插值的样本密度和分布,以及允许单个样本影响周围样本的最大距离。
谢泼德法是最小化与插值点{x, u}的元组和插值点{xi, ui}的i元组之间的偏差度量相关的函数的结果,定义为:
从最小化条件导出:
该方法容易扩展到其他维数的空间,它实际上是将拉格朗日插值法推广到多维空间。为三元插值设计的修改版算法由Robert J. Renka提出,Netlib的toms库中的算法661提供该算法。
一维下的示例
[编辑]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/58/Shepard_interpolation_1_dimension.png/640px-Shepard_interpolation_1_dimension.png)
调整谢泼德法
[编辑]谢泼德法的另一个修改版是仅使用半径R范围内的最近邻(而不是完整样本)来计算插值。在这种情况下,权重略有修改:
当与快速空间搜索结构(如k-d树)结合使用时,它即为适用于大尺度问题的高效N log N插值方法。
参见
[编辑]参考文献
[编辑]- ^ Spatial Autocorrelation (Global Moran's I) (Spatial Statistics). ArcGIS Pro Documentation. ESRI. [13 September 2022]. (原始内容存档于2022-10-31).
- ^ Chrisman, Nicholas. History of the Harvard Laboratory for Computer Graphics: a Poster Exhibit (PDF).
- ^ 3.0 3.1 Shepard, Donald. A two-dimensional interpolation function for irregularly-spaced data. Proceedings of the 1968 ACM National Conference: 517–524. 1968. doi:10.1145/800186.810616.