拓扑不变量

在拓朴学之中，并不拘泥于一个拓朴空间所包含的体积、面积、长度等等量，而是在乎这个拓朴空间所拥有的内禀性质，如亏格(亏数)云云。 而所谓的内禀性质是指那些不能用度量方式去求得的各种量，也就是说，这些量是不能使用因次分析来表达出的。

而拓朴学的也因为这种不在乎那些跟大小、位置、形状的性质而被称做一门“定性”的科学。

而拓朴不变量的定义是：两个同构的拓朴空间之间相同的内秉性质。

举个例子，一个拓朴空间的连通性，假如一个拓朴空间不能被描述成两个非空不相交开集的联集，我们就叫这个拓朴空间为连通空间，而我们现在将这个连通空间随意伸缩、平移或甚至变形，这个拓朴空间是连通空间的性质是不会变的，我们就称拓朴空间的连通性是一个拓朴不变量。

白话地说，以简易凡，假设我们现在有一颗球，但我们不能限制这颗球中的任何一点不能画一条连续的线到同在这颗球中的任何另外一点，那么，我们称做这个球有连通性。 而现在，我们将这颗球拉长、乱丢、甚至把他在拉长之后打成一个结，但只要我们不做会让这颗球破洞或被压爆的动作，而依然地，我们不能限制这颗变形球里头的任何一点不能画一条连续的线到同在这颗球中的任何一点，那么，我们就称这个连通性是一种拓朴不变量。

学术点说这些拉长打结之类的动作：一个操作，而这个操作使得这个拓朴空间和被操作过后的拓朴空间是同构的。

当然，这里就先不提局部连通性的概念。

著名的咖啡杯和甜甜圈对拓朴学数学家是一样的，就是上文提过的亏数概念，像将咖啡杯扭曲成一个甜甜圈就是一个典型的拓朴学上的变形，而这个亏数，不严谨的说，也就是它有几个洞，就是一个典型的拓朴不变量。

经典的拓朴不变量还有著名的欧拉示性数等等。