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波前集

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在数学分析中,特别是微局部分析中,一个分布 的波前集 奇异支集 的基础上进一步刻画了 的奇异性。作为底空间余切丛的一个锥子集,一个分布的波前集不仅描述了这个分布的奇异点,并且同时描述了在每一点这个分布奇异的方向。“波前集”这个术语是由 拉尔斯·霍尔曼德尔在1970年左右引入的。实解析版本的波前集,定义在超函数上,称为“奇异支集”或“奇异谱”,稍早由佐藤干夫引入。

定义

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在欧式空间的一个区域 中,一个分布 在一个点 处的奇异纤维 ,作为 的一个子集, 是在这一点所有奇异方向的余集。严格的定义用到傅里叶变换, 不属于 当且仅当存在紧支集光滑函数 以及 的一个锥邻域(在正实数乘法下不变) 使得 ,并且在 中有如下估计:对于任意正整数 ,存在正常数 使得

(我们经常将这个估计写为。)

的波前集 定义为

由下面波前集在坐标变化下的性质,可以定义光滑流形 上的分布 的波前集 为余切丛去掉零截面 的一个锥子集。

如果 有Schwarz核 ,定义

对于拟微分算子 , 可以验证 包含于 的对角线 中。并且如果我们定义 如下: 当且仅当在的一个锥邻域中, 的象征满足估计

那么我们有 当且仅当

等价定义

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Hormander最早的定义用到了拟微分算子在分布上的作用: 是所有满足如下性质的点 中的补集: 存在 的锥邻域 使得对于任意的满足 的拟微分算子 , 有

另一个有用的等价定义用到FBI变换。

性质

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(1) 如果记 为余切丛上自然投影,则

(2) 对于拟微分算子 。特别的,我们有对于任意的光滑系数微分算子

(3) 如果 是一个光滑映射,记 的法丛。如果 满足 ,那么我们可以“唯一的”定义 下的拉回 。并且我们有 。 特别的,如果 是一个微分同胚,。所以波前集定义在余切丛上是不取决于坐标的。

(4)令 如果将 视作从 的一个关系,并且记 。这里分别是上余切丛的零截面。则如果 满足 ,那么我们可以“唯一的”定义。并且我们有

(5)如果 满足 ,那么我们可以“唯一的”定义复合算子 。并且我们有

这里最后一项是将波前集视为关系下的复合。

例子

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函数

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振荡积分

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余法分布

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拉格朗日分布

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应用

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分布的运算

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拟微分算子与微局部化

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奇异性的传播

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推广

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以上所定义的波前集描述的是分布的关于 正则性的奇异性,类似的可以定义关于实解析性的波前集 ,关于Gevery类 的波前集,关于Sobolev空间 的波前集等等。在使用FBI变换的定义中,这些波前集有一个很好的统一的描述。

参考来源

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  • Lars Hörmander, Fourier integral operators I, Acta Math. 127 (1971), pp. 79-183.
  • Hörmander, Lars, The Analysis of Linear Partial Differential Equations I: Distribution Theory and Fourier Analysis, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 256 2nd, Springer: 251–279, 1990, ISBN 0-387-52345-6  Chapter VIII, Spectral Analysis of Singularities