波德灵敏度积分

波德灵敏度积分（Bode's sensitivity integral）是由亨德里克·韦德·波德所提出的公式，针对线性非时变回授控制系统的一些限制进行量化。回控控制系统会将输出信号经由感测器回授进入系统，系统设计时，一方面希望实际输出可以尽量接近理想输出，另一方面也希望使系统尽量不受外部扰动的影响（降低系统对扰动灵敏度）。波德灵敏度积分是针对系统对扰动灵敏度进行量化。

回授控制的方块图

图中P是一个动态过程，传递函数是P(s)。控制器C的传递函数是C(s)。控制器设法让过程输出y追随参数输入r，但因为干扰d以及量测误差n的存在，会让输出出现未预期的变化。

令L为回路传递函数，也是回路增益，L(s) = P(s)C(s)，而S为灵敏度函数，再针算灵敏度函数对数值对所有频率下的积分，则下式会成立：

$\int _{0}^{\infty }\ln |S(j\omega )|d\omega =\int _{0}^{\infty }\ln \left|{\frac {1}{1+L(j\omega )}}\right|d\omega =\pi \sum Re(p_{k})-{\frac {\pi }{2}}\lim _{s\rightarrow \infty }sL(s)$

其中$p_{k}$为L在右半平面的极点（不稳定的极点）。

若L的极点比零点多二个或是二个以上，且没有位在右半平面极点（所有极点都稳定），上式可以简化为：

$\int _{0}^{\infty }\ln |S(j\omega )|d\omega =0$

灵敏度越低越好，但由波德灵敏度积分可以看出，若在某一个频率段降低扰动的灵敏度，因为波德灵敏度积分为定值，因此一定会有某一个频率段的扰动灵敏度会因此而上升，这称为“水床效应”（waterbed effect）。因此无法针对所有频段降低系统灵敏度。

延伸阅读

• Karl Johan Åström and Richard M. Murray. Feedback Systems: An Introduction for Scientists and Engineers. Chapter 11 - Frequency Domain Design. Princeton University Press, 2008. http://www.cds.caltech.edu/~murray/amwiki/Frequency_Domain_Design （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Stein, G. Respect the unstable. IEEE Control Systems Magazine. 2003, 23 (4): 12–25. ISSN 1066-033X. doi:10.1109/MCS.2003.1213600. 
• Costa-Castelló, Ramon; Dormido, Sebastián. An interactive tool to introduce the waterbed effect. IFAC-PapersOnLine. 2015, 48 (29): 259–264. ISSN 2405-8963. doi:10.1016/j.ifacol.2015.11.246 . 

外部链接

• Use of Bode's Integral Theorem (circa 1945) - NASA publication.