达布定理

在实分析中，达布定理（英语：Darboux's theorem）得名于让·加斯东·达布。达布定理说明所有的实导函数（某个实值函数的导数）都具有介值性质：实导函数对任意区间的值域仍是区间。即是说，若f为可导函数，则对任意区间I，f′(I) 仍为区间。

当函数 f 是一阶连续可导函数（C¹）时，由介值定理，达布定理显然成立。当导函数 f′ 不连续时，达布定理说明 f′ 仍具有介值性质。

历史

19世纪时，大部分数学家认为介值定理已经可以刻画出连续函数。但在1875年，让·加斯东·达布证明这个想法是错误的，因为连续函数的导函数仍然具有介值性质，但不一定是连续函数。一个很常用的反例是函数：

h:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ,\ x\mapsto x^{2}\sin \left({\frac {1}{x}}\right)

当

x\neq 0

h(0)=0

当

x=0

其导数在 $x=0$ 处并不连续。

内容

设 $f\colon [a,b]\to \mathbb {R}$ 为闭区间 $[a,b]$ 上的实值可导函数，那么对介于 $f'(a)$ 和 $f'(b)$ 之间的任意 $t$ ，存在 $x$ 属于 $[a,b]$ 使得 $f'(x)=t$ 。

证明

不失一般性，我们可假设 $f\,'_{+}(a)>t>f\,'_{-}(b)$ 。又设 $g(x):=f(x)-tx$ ，则 $g'_{+}(a)>0>g'_{-}(b)$ 。只需找到 $g'$ 在 $[a,b]$ 上的一个零点即可。

由于 $g$ 是 $[a,b]$ 上的连续函数，由极值定理， $g$ 在 $[a,b]$ 上达到极大值。由于 $g'_{+}(a)>0$ ，极大值不在 $a$ 处取到。同理，由于 $g'_{-}(b)<0$ ，极大值也不在b处取到。设 $x$ 为取到极大值的点，这时， $g\,'(x)=0$ 。于是定理得证。