佩爾方程

佩爾方程的動畫

若一個丟番圖方程具有以下的形式：

$x^{2}-ny^{2}=1$

且$n$為正整數，則稱此二元二次不定方程為佩爾方程（英文：Pell's equation；德文：Pellsche Gleichung），以英國數學家約翰·佩爾命名。

若$n$是完全平方數，則這個方程式只有平凡解$(\pm 1,0)$（實際上對任意的$n$，$(\pm 1,0)$都是解）。對於其餘情況，拉格朗日證明了佩爾方程總有非平凡解。而這些解可由${\sqrt {n}}$的連分數求出。

佩爾方程的解

設${\tfrac {p_{i}}{q_{i}}}$ 是${\sqrt {n}}$的連分數表示：$[a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},\,\ldots ]$的漸近分數列，由連分數理論知存在$i$使得(p_i,q_i)為佩爾方程的解。取其中最小的$i$，將對應的 (p_i,q_i)稱為佩爾方程的基本解，或最小解，記作(x₁,y₁)，則所有的解(x_i,y_i)可表示成如下形式：

$x_{i}+y_{i}{\sqrt {n}}=(x_{1}+y_{1}{\sqrt {n}})^{i}$。

或者由以下的遞迴關係式得到：

$\displaystyle x_{i+1}=x_{1}x_{i}+ny_{1}y_{i},$

$\displaystyle y_{i+1}=x_{1}y_{i}+y_{1}x_{i}$。

例子

標準型

$\displaystyle x^{2}-7y^{2}=1$。

首先根據根號7的漸進連分數表示，找出前幾項，察看（分子，分母）是否是一組解。

第一項：${\tfrac {h}{k}}={\tfrac {2}{1}}$，$h^{2}-7k^{2}=-3,\,\!$不是解；

第二項：${\tfrac {h}{k}}={\tfrac {3}{1}}$，$h^{2}-7k^{2}=2,\,\!$不是解；

第三項：${\tfrac {h}{k}}={\tfrac {5}{2}}$，$h^{2}-7k^{2}=-3,\,\!$不是解；

第四項：${\tfrac {h}{k}}={\tfrac {8}{3}}$，$h^{2}-7k^{2}=1.\,\!$是解。於是最小解是(8,3)。計算$x_{1}+y_{1}{\sqrt {n}}$的各次乘方，或者用遞推公式（不能直接得出某一項）就可以得到接下來的各組解

$x_{n}={\frac {(8+3{\sqrt {7}})^{n}+(8-3{\sqrt {7}})^{n}}{2}},y_{n}={\frac {(8+3{\sqrt {7}})^{n}-(8-3{\sqrt {7}})^{n}}{2{\sqrt {7}}}}$

(x,y)=(8,3)、 (127,48)、 (2024,765)、 (32257,12192)、 (514088,194307)、 (8193151,3096720)、 (130576328,49353213) ......

非標準型

• 對於方程$x^{2}-ny^{2}=k$，利用婆羅摩笈多-斐波那契恆等式找出方程解。

$(x_{1}^{2}-Ny_{1}^{2})(x_{2}^{2}-Ny_{2}^{2})=(x_{1}x_{2}+Ny_{1}y_{2})^{2}-N(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1})^{2}=(x_{1}x_{2}-Ny_{1}y_{2})^{2}-N(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1})^{2}$

例如$x^{2}-7y^{2}=2$有解(3,1)。

$r^{2}-7s^{2}=1$時，有$2=(3r+7s)^{2}-7(3s+r)^{2}=(3r-7s)^{2}-7(3s-r)^{2}$

(r,s)=(8,3)、 (127,48)、 (2024,765)、 (32257,12192)、 (514088,194307)、 (8193151,3096720)、 (130576328,49353213) ......

(x,y)=(3,1)、 (45,17)、 (717,271)、 (11427,4319)、 (182115,68833)、 (2902413,1097009)、 (46256493,17483311) ......

• 對於方程$ax^{2}-by^{2}=c$，兩邊乘上a，求出$(ax)^{2}-aby^{2}=ac$的解。

例如$5x^{2}-2y^{2}=3$有解(1,1)。

設$z=5x$，$(5x)^{2}-10y^{2}=z^{2}-10y^{2}=15$

$r^{2}-10s^{2}=1$時，有$15=(5r+10s)^{2}-10(5s+r)^{2}=(5r-10s)^{2}-10(5s-r)^{2}$

(r,s)=(19,6)、 (721,228)、 (27379,8658)、 (1039681,328776)、 (39480499,12484830) ......

(z,y)=(5,1)、 (35,11)、 (155,49)、 (1325,419)、 (5885,1861)、 (50315,15911)、 (223475,70669) ......

(x,y)=(1,1)、 (7,11)、 (31,49)、 (265,419)、 (1177,1861)、 (10063,15911)、 (44695,70669) ......

與代數數論的聯繫

佩爾方程與代數數理論有緊密聯繫，因為公式$x^{2}-ny^{2}=(x+y{\sqrt {n}})(x-y{\sqrt {n}})$給出了環$\mathbb {Z} [{\sqrt {n}}]$（即二次域$\mathbb {Z} ({\sqrt {n}})$）上的範數。因此(x,y)是佩爾方程的解當且僅$x+y{\sqrt {n}}$的範數是一，即是域上的一個單元。根據狄利克雷單位定理，$\mathbb {Z} [{\sqrt {n}}]$的所有單元都可以表示為同一個基本單元的乘方形式。這就是說一個佩爾方程的所有的解都是一個基本解的乘方。單元總可以通過解一個類似佩爾方程而得到，但這時的基本解並不一定就是基本單元。

與切比雪夫多項式的聯繫

佩爾方程和切比雪夫多項式有內在的聯繫：若T_i (x)和U_i (x)分別是第一類和第二類切比雪夫多項式的相應項，那麼它們是佩爾形式方程$T_{i}^{2}-(x^{2}-1)U_{i-1}^{2}=1$的解。於是第一類和第二類切比雪夫多項式可以通過展開基本解的乘方得到。

$T_{i}+U_{i-1}{\sqrt {x^{2}-1}}=(x+{\sqrt {x^{2}-1}})^{i}$。

進一步有：如果(x_i,y_i)是佩爾方程的第i個解，那麼

x_i = T_i (x₁)

y_i = y₁U_{i - 1}(x₁)。

佩爾方程的最小解

n	x	y	n	x	y	n	x	y	n	x	y
1	-	-	33	23	4	65	129	16	97	62809633	6377352
2	3	2	34	35	6	66	65	8	98	99	10
3	2	1	35	6	1	67	48842	5967	99	10	1
4	-	-	36	-	-	68	33	4	100	-	-
5	9	4	37	73	12	69	7775	936	101	201	20
6	5	2	38	37	6	70	251	30	102	101	10
7	8	3	39	25	4	71	3480	413	103	227528	22419
8	3	1	40	19	3	72	17	2	104	51	5
9	-	-	41	2049	320	73	2281249	267000	105	41	4
10	19	6	42	13	2	74	3699	430	106	32080051	3115890
11	10	3	43	3482	531	75	26	3	107	962	93
12	7	2	44	199	30	76	57799	6630	108	1351	130
13	649	180	45	161	24	77	351	40	109	158070671986249	15140424455100
14	15	4	46	24335	3588	78	53	6	110	21	2
15	4	1	47	48	7	79	80	9	111	295	28
16	-	-	48	7	1	80	9	1	112	127	12
17	33	8	49	-	-	81	-	-	113	1204353	113296
18	17	4	50	99	14	82	163	18	114	1025	96
19	170	39	51	50	7	83	82	9	115	1126	105
20	9	2	52	649	90	84	55	6	116	9801	910
21	55	12	53	66249	9100	85	285769	30996	117	649	60
22	197	42	54	485	66	86	10405	1122	118	306917	28254
23	24	5	55	89	12	87	28	3	119	120	11
24	5	1	56	15	2	88	197	21	120	11	1
25	-	-	57	151	20	89	500001	53000	121	-	-
26	51	10	58	19603	2574	90	19	2	122	243	22
27	26	5	59	530	69	91	1574	165	123	122	11
28	127	24	60	31	4	92	1151	120	124	4620799	414960
29	9801	1820	61	1766319049	226153980	93	12151	1260	125	930249	83204
30	11	2	62	63	8	94	2143295	221064	126	449	40
31	1520	273	63	8	1	95	39	4	127	4730624	419775
32	17	3	64	-	-	96	49	5	128	577	51