在數學的群論中,一個群G的全形Hol(G)是一個特定的群,同時包含群G和其自同構群Aut(G)。群的全形可用半直積或交換群來描述。
記群G的自同構群為Aut(G),則G的全形Hol(G)是
![{\displaystyle \operatorname {Hol} (G)=G\rtimes \operatorname {Aut} (G)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c91fd4bf256bcf008d5ab1e1da49ae8eec11ffa5)
其中的外半直積是對於Aut(G)在G上的自然作用,因此全形上的運算如下:令
為Hol(G)的元,其中g, h是G的元,
是G的自同構,則
。
群G以左乘和右乘作用在自身的元素上,定義出兩個從G到G上的對稱群Sym(G)的群同態。左乘對應的群同態為
,
;
右乘對應的群同態為
,
。
這兩個群同態稱為G的左及右正規表示,並且都是單射(凱萊定理)。換言之,G同構於
和
。G的全形
是
在
中的正規化子。
- Hall, Marshall, Jr., The theory of groups, Macmillan, 1959, MR0103215