圓錐擺

圓錐擺是一個固定在一根懸掛在中心點上的繩子（或輕杆）的重物。其結構與單擺類似，但重物並不是像單擺一樣來回擺動，而是以一個恆定的速度在水平面上做圓周運動，並和細繩（或輕杆）一起，畫出圓錐的軌跡。圓錐擺最初在1660年由英國科學家羅伯特•虎克作為行星的運行軌道模型所研究。在1673年荷蘭物理學家惠更斯利用他的《擺鐘論》中的一個新概念——離心力，計算了它的軌道週期。之後，圓錐擺被用作一些機械設備和鐘錶中的計時裝置。

用途

圓錐擺因其流暢的運動而替代擁有不可避免的不平穩運動軌跡的單擺，成為機械裝置中的計時元件。兩個典型例子是：它能使燈塔中在海面上穩定旋轉；以及以其機械性質而製作的天文望遠鏡中的赤道儀使得鏡頭隨著恆星運動，以達到持續觀察目標的目的。

分析

想像一個質量為m的重物繫在一根長為L的細繩上，以恆定速度v做無摩擦的圓周運動，細繩始終與豎直方向保持角度θ。共有兩個力作用在重物上：

• 繩子的張力T，方向沿細繩向上。
• 豎直方向的重力mg。

繩子的張力可以分解為沿豎直方向的Tcosθ，和沿水平方向的Tsinθ，且Tsinθ方向始終指向圓周運動的圓心。根據牛頓第二運動定律，繩子張力T的水平分量提供重物做圓周運動的向心力：

$T\sin \theta ={\frac {mv^{2}}{r}}\,$

圓錐擺的重物在水平面做圓周運動的半徑為r，重物的質量為m，細繩的長度為L,作用在重物上的細繩的拉力為向量T，重物的重力為向量mg。

又因為重物在豎直方向上沒有加速度，所以張力T的豎直分量就等於重物的重力mg。

$T\cos \theta =mg\,$

兩個方程式相除，消去T和m，得：

${\frac {g}{\cos \theta }}={\frac {v^{2}}{r\sin \theta }}$

又因為重物的速度v恆定，所以v又可以表示為2πr除以圓周運動週期t：

$v={\frac {2\pi r}{t}}$

將v替換到原先式子中，得到：

${\frac {g}{\cos \theta }}={\frac {({\frac {2\pi r}{t}})^{2}}{r\sin \theta }}={\frac {(2\pi )^{2}r}{t^{2}\sin \theta }}$

整理上式得：

$g={\frac {4\pi ^{2}r\cos \theta }{t^{2}\sin \theta }}$

又因為

$\sin \theta ={\frac {r}{L}}$

將上面兩式聯立可得：

$t=2\pi {\sqrt {\frac {L\cos \theta }{g}}}$

由此式可以看出，重物運轉週期只與Lcosθ有關，而在θ很小時，cosθ≈1，此時，圓錐擺的週期與單擺相同。此外，在角度θ很小時，週期t近似地獨立於θ，而成為一個定值（繩長一定），這就意味著其週期與施加在重物上的維持其運動的力的大小無關，這種性質被稱為等時性，並使得圓錐擺與單擺擁有良好的計時作用。

參見

• 牛頓三大定律
• 擺鐘

外部連結

• An interactive Java simulation of conical pendulum（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）