布朗定理

布朗定理是一個數論中的定理，由挪威數學家瑋哥·布朗在1919年以篩法證明，而他為了證明此定理所開發的篩法即所謂的布朗篩法。

設P(x)為滿足p ≤ x的素數數目，使得p + 2也是素數（也就是說，P(x)是孿生素數的數目）。那麼，對於x ≥ 3，我們有：

$P(x)<c{\frac {x}{(\log x)^{2}}}(\log \log x)^{2}$

其中c是某個常數。

從這個結果可以推出，所有孿生素數的倒數之和收斂；也就是說，以下的級數

$\sum \limits _{p\,:\,p+2\in \mathbb {P} }{\left({{\frac {1}{p}}+{\frac {1}{p+2}}}\right)}=\left({{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}}\right)+\left({{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}}\right)+\left({{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}}\right)+\cdots$

是收斂的，它的值稱為布朗常數。假如它是發散的，那麼就可以推出孿生素數有無窮多個；但現在它收斂，我們就仍然不知道孿生素數是否有無窮多個。

參見

• 證明所有素數的倒數之和發散
• 布朗篩法
• 奔騰浮點除錯誤─Thomas Nicely在研究布朗常數時發現的錯誤。

參考文獻

• 埃里克·韋斯坦因. 布朗定理. MathWorld. 
• Brun, V. "La serie 1/5+1/7+1/11+1/13+1/17+1/19+1/29+1/31+1/41+1/43+1/59+1/61+..., les dénominateurs sont nombres premiers jumeaux est convergente où finie." Bull. Sci. Math. 43, p.124-128, 1919.
• Landau, E. Elementare Zahlentheorie. Leipzig, Germany: Hirzel, 1927. Reprinted Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1990.