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弱哥德巴赫猜想

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普魯士數學家克里斯蒂安·哥德巴赫與瑞士數學家萊昂哈德·歐拉的通信

弱哥德巴赫猜想(英語:Goldbach's weak conjecture),又稱為奇數哥德巴赫猜想(英語:odd Goldbach conjecture)、三素數問題(英語:3-primes problem),其表述為:

任一大於5的奇數都可以表示為三個素數之和[1]

如果「強」哥德巴赫猜想成立,便可以推出此猜想,故這一猜想被稱為「弱」哥德巴赫猜想。(強哥德巴赫猜想成立意味著大於4的偶數都可表示為兩個奇素數之和,再加上3就可以使大於7的奇數表示為三個奇素數之和)

2013年5月13日,法國國家科學研究院巴黎高等師範學院數論領域的研究員哈洛德·賀歐夫各特,在線發表兩篇論文宣布徹底證明了弱哥德巴赫猜想[2][3]。哈洛德·賀歐夫各特在文章「Minor arcs for Goldbach's problem」中[2],給出了指數和( exponential sum)形式的一個新界。在文章「Major arcs for Goldbach's theorem」中[3],哈洛德·賀歐夫各特綜合使用了哈迪-利特伍德-維諾格拉多夫圓法(主要工具是傅立葉分析,創建了一個周期函數,其範圍包括所有素數),篩法指數和等傳統方法,把下界降低到了1030左右,哈洛德·賀歐夫各特的同事大衛·普拉特用計算機驗證在此之下的所有奇數都符合猜想,從而完成了弱哥德巴赫猜想的全部證明。[4]

研究史

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1923年,英國數學家哈代李特爾伍德證明,假設廣義黎曼猜想成立,弱哥德巴赫猜想對充分大的奇數是正確的。

1937年,蘇聯數學家伊萬·維諾格拉多夫(Ivan Vinogradov)更進一步,在無需廣義黎曼猜想的情形下,直接證明了充分大的奇數可以表示為三個素數之和,被稱為維諾格拉多夫定理。不過由於維諾格拉多夫的證明使用了西格爾-瓦爾菲施定理(Siegel–Walfisz theorem),因而無法給出「充分大」的界限。他的學生博羅茲金(K. Borozdin)於1939年確定了一個「充分大」的下限:。然而這一數字有6,846,169位,要驗證比該數小的所有數是完全不可行的。

法國數學家奧利維耶·拉馬雷(Olivier Ramaré)於1995年證明,不小於4的偶數都可以表示為最多六個素數之和。而萊塞克·卡涅茨基(Leszek Kaniecki)則證明了在黎曼猜想成立的前提下,奇數都可表示為最多五個素數之和。[5]2012年,陶哲軒在無需黎曼猜想的情形下證明了這一結論。[6]

1997年,戴舍爾(Deshouillers)、埃芬格(Effinger)、特里爾(te Riele)與季諾維也夫(Zinoviev)證明,在廣義黎曼猜想成立的前提下弱哥德巴赫猜想是完全成立的。[7]這一結果由兩部分構成,其一是證明了大於時弱哥德巴赫猜想成立,而小於此數的情況則由計算機驗證得到。

2002年,香港大學的廖明哲與王天澤把「充分大」的下限降至。不過這仍然超出了計算機驗證的範圍(計算機僅對以下的數驗證過強哥德巴赫猜想,弱哥德巴赫猜想的驗證範圍比此略多)。不過這一下限已經足夠小,使得比其小的單個奇數都可以用現有的素性測試來驗證,如橢圓曲線素性測試英語Elliptic curve primality已被用來驗證多達26,643位數的素性。[8]

2012 年和 2013 年,秘魯數學家哈洛德·賀歐夫各特發表了兩篇論文,改進了大弧和小弧估計,足以無條件證明弱哥德巴赫猜想。

參考文獻

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  1. ^ Helfgott, Harald Andrés. The ternary Goldbach problem. 2015. arXiv:1501.05438可免費查閱 [math.NT]. 
  2. ^ 2.0 2.1 Minor arcs for Goldbach's problem. [2013-06-15]. (原始內容存檔於2013-07-29). 
  3. ^ 3.0 3.1 Major arcs for Goldbach's theorem. [2013-06-15]. (原始內容存檔於2013-07-29). 
  4. ^ 两项证明激荡数论研究”作者:张冬冬《中国科学报》 2013-05-27 第3版. [2022-06-25]. (原始內容存檔於2021-10-06). 
  5. ^ Kaniecki, Leszek. On Šnirelman's constant under the Riemann hypothesis. Acta Arithmetica 4. 1995: 361–374. 
  6. ^ Terence Tao. Every odd number greater than 1 is the sum of at most five primes. [2012-08-18]. (原始內容存檔於2016-01-18). 
  7. ^ Deshouillers, Effinger, Te Riele and Zinoviev. A complete Vinogradov 3-primes theorem under the Riemann hypothesis (PDF). Electronic Research Announcements of the American Mathematical Society. 1997, 3 (15): 99–104 [2012-08-18]. doi:10.1090/S1079-6762-97-00031-0. (原始內容 (PDF)存檔於2008-07-25). 
  8. ^ N. Lygeros, F. Morain, O. Rozier. Quelques nombres premiers prouvés par mes programmes. [2012-08-18]. (原始內容存檔於2022-01-21).